Question Number 146577 by bekzodjumayev last updated on 14/Jul/21
Commented by bekzodjumayev last updated on 14/Jul/21
$${Help} \\ $$$$ \\ $$
Answered by Ar Brandon last updated on 14/Jul/21
$$\mathrm{I}=\int\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)\centerdot\centerdot\centerdot\left(\mathrm{x}+\mathrm{m}\right)} \\ $$$$\:\:=\int\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{m}!}\centerdot\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{m}−\mathrm{1}\right)!}\centerdot\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{m}−\mathrm{2}\right)!}\centerdot\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{2}}\right. \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}!\left(\mathrm{m}−\mathrm{3}\right)!}\centerdot\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{3}}+\centerdot\centerdot\centerdot+\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{m}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{m}!}\centerdot\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{m}}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:=\int\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{m}} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}!\left(\mathrm{m}−\mathrm{k}\right)!}\centerdot\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{k}}\mathrm{dx}=\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{m}} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \frac{\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}+\mathrm{k}\mid}{\mathrm{k}!\left(\mathrm{m}−\mathrm{k}\right)!}+\mathrm{C} \\ $$
Commented by bekzodjumayev last updated on 14/Jul/21
$${Thank}\:{you} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 14/Jul/21
$$\Psi=\int\:\:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)…..\left(\mathrm{x}+\mathrm{m}\right)} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{decompose}\:\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)….\left(\mathrm{x}+\mathrm{m}\right)}=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{m}} \:\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{k}} }{\mathrm{x}+\mathrm{k}} \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{k}} =\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow−\mathrm{k}} \left(\mathrm{x}+\mathrm{k}\right)\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$=\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow−\mathrm{k}} \:\:\:\left(\mathrm{x}+\mathrm{k}\right)×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)…..\left(\mathrm{x}+\mathrm{k}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{k}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)….\left(\mathrm{x}+\mathrm{m}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\left(−\mathrm{k}\right)\left(−\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)…..\left(−\mathrm{1}\right)×\mathrm{1}.\mathrm{2}…..\left(−\mathrm{k}+\mathrm{m}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \mathrm{k}!\left(\mathrm{m}−\mathrm{k}\right)!}=\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{m}!}×\frac{\mathrm{m}!}{\mathrm{k}!\left(\mathrm{m}−\mathrm{k}\right)!}=\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{m}!}\mathrm{C}_{\mathrm{m}} ^{\mathrm{k}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{m}!}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{m}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{m}} ^{\mathrm{k}} }{\mathrm{x}+\mathrm{k}}\:\Rightarrow \\ $$$$\Psi=\int\:\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{m}!}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{m}} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{m}} ^{\mathrm{k}} \mathrm{log}\mid\mathrm{x}+\mathrm{k}\mid\:+\mathrm{C} \\ $$$$ \\ $$