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Question-146799

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Question Number 146799 by puissant last updated on 15/Jul/21
Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 15/Jul/21
Il y a 2 photocopieuses couleur sur 5 : p = (2/5) Il y a 3 photocopieuses N&B sur 5 : q = (3/5) = 1−p On note X la variable aleatoire qui mesure le nombre de photocopieuses couleur utilisees. X prend les valeurs 0 a n. 1− On a utilise une seule fois une photocopieuse couleur : Une personne k a utilise une photocopieuse couleur (proba p) et n−1 personnes ont utilise les N&B (proba q^(n−1) ). Donc pq^(n−1) Mais k peut prendre n valeurs. P(C) = npq^(n−1) = 2n(3^(n−1) /5^n ) 2− B est l′evenement “on a utilise les deux photocopieurs”. B^− est le complemebtaire de B. On a utilise que des couleurs (proba p^n ) ou que des N&B (proba q^n ). P(B^− ) = P(X=n) XOR P(X=0) P(B^− ) = P(X=n)+P(X=0) P(B^− ) = p^n +q^n = ((2/5))^n +((3/5))^n P(B) = 1−P(B^− ) = 1−((2/5))^n −((3/5))^n 3− La probabite d′avoir utilise que des N&B (donc aucune couleur) est : P(X=0) = q^n = ((3/5))^n La probabilite d′avoir utilise au moins une photocopieuse couleur est le complement de ce qui precede : P(A) = P(X≥1) = 1−p(X=0) = 1−((3/5))^n 4− A∩B est l′evenement “on a utilise au moins une photocopieuse couleur et on a utilise les deux photocopieurs” En fait, A∩B = B^− Les evenements A et B sont independants si P(A∩B) = p(A)p(B) Mais ((2/5))^n +((3/5))^n ≠ (1−((3/5))^n )(1−((2/5))^n −((3/5))^n ) donc A et B sont dependants.
$$\mathrm{Il}\:\mathrm{y}\:\mathrm{a}\:\mathrm{2}\:\mathrm{photocopieuses}\:\mathrm{couleur}\:\mathrm{sur}\:\mathrm{5}\:: \\ $$$${p}\:=\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}} \\ $$$$\mathrm{Il}\:\mathrm{y}\:\mathrm{a}\:\mathrm{3}\:\mathrm{photocopieuses}\:\mathrm{N\&B}\:\mathrm{sur}\:\mathrm{5}\:: \\ $$$$\:{q}\:=\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}}\:=\:\mathrm{1}−{p} \\ $$$$\mathrm{On}\:\mathrm{note}\:\mathrm{X}\:\mathrm{la}\:\mathrm{variable}\:\mathrm{aleatoire}\:\mathrm{qui} \\ $$$$\mathrm{mesure}\:\mathrm{le}\:\mathrm{nombre}\:\mathrm{de}\:\mathrm{photocopieuses} \\ $$$$\mathrm{couleur}\:\mathrm{utilisees}.\:\mathrm{X}\:\mathrm{prend}\:\mathrm{les}\:\mathrm{valeurs} \\ $$$$\mathrm{0}\:\mathrm{a}\:{n}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{1}− \\ $$$$\mathrm{On}\:\mathrm{a}\:\mathrm{utilise}\:\mathrm{une}\:\mathrm{seule}\:\mathrm{fois}\:\mathrm{une} \\ $$$$\mathrm{photocopieuse}\:\mathrm{couleur}\:: \\ $$$$\mathrm{Une}\:\mathrm{personne}\:{k}\:\mathrm{a}\:\mathrm{utilise}\:\mathrm{une}\:\mathrm{photocopieuse} \\ $$$$\mathrm{couleur}\:\left(\mathrm{proba}\:{p}\right)\:\mathrm{et}\:{n}−\mathrm{1}\:\mathrm{personnes} \\ $$$$\mathrm{ont}\:\mathrm{utilise}\:\mathrm{les}\:\mathrm{N\&B}\:\left(\mathrm{proba}\:{q}^{{n}−\mathrm{1}} \right). \\ $$$$\mathrm{Donc}\:{pq}^{{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{Mais}\:{k}\:\mathrm{peut}\:\mathrm{prendre}\:{n}\:\mathrm{valeurs}. \\ $$$$\mathrm{P}\left(\mathrm{C}\right)\:=\:{npq}^{{n}−\mathrm{1}} \:=\:\mathrm{2}{n}\frac{\mathrm{3}^{{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{5}^{{n}} } \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{2}− \\ $$$$\mathrm{B}\:\mathrm{est}\:\mathrm{l}'\mathrm{evenement}\:“{on}\:{a}\:{utilise}\:{les}\:{deux} \\ $$$${photocopieurs}''. \\ $$$$\overset{−} {\mathrm{B}}\:\mathrm{est}\:\mathrm{le}\:\mathrm{complemebtaire}\:\mathrm{de}\:\mathrm{B}.\:\mathrm{On}\:\mathrm{a} \\ $$$$\mathrm{utilise}\:\mathrm{que}\:\mathrm{des}\:\mathrm{couleurs}\:\left(\mathrm{proba}\:{p}^{{n}} \right)\:\mathrm{ou} \\ $$$$\mathrm{que}\:\mathrm{des}\:\mathrm{N\&B}\:\left(\mathrm{proba}\:{q}^{{n}} \right). \\ $$$$\mathrm{P}\left(\overset{−} {\mathrm{B}}\right)\:=\:\mathrm{P}\left(\mathrm{X}={n}\right)\:\mathrm{XOR}\:\mathrm{P}\left(\mathrm{X}=\mathrm{0}\right) \\ $$$$\mathrm{P}\left(\overset{−} {\mathrm{B}}\right)\:=\:\mathrm{P}\left(\mathrm{X}={n}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{X}=\mathrm{0}\right) \\ $$$$\mathrm{P}\left(\overset{−} {\mathrm{B}}\right)\:=\:{p}^{{n}} +{q}^{{n}} \:=\:\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\right)^{{n}} +\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}}\right)^{{n}} \\ $$$$\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right)\:=\:\mathrm{1}−\mathrm{P}\left(\overset{−} {\mathrm{B}}\right)\:=\:\mathrm{1}−\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\right)^{{n}} −\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}}\right)^{{n}} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{3}− \\ $$$$\mathrm{La}\:\mathrm{probabite}\:\mathrm{d}'\mathrm{avoir}\:\mathrm{utilise}\:\mathrm{que}\:\mathrm{des} \\ $$$$\mathrm{N\&B}\:\left(\mathrm{donc}\:\mathrm{aucune}\:\mathrm{couleur}\right)\:\mathrm{est}\:: \\ $$$$\mathrm{P}\left(\mathrm{X}=\mathrm{0}\right)\:=\:{q}^{{n}} \:=\:\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}}\right)^{{n}} \\ $$$$\mathrm{La}\:\mathrm{probabilite}\:\mathrm{d}'\mathrm{avoir}\:\mathrm{utilise}\:\mathrm{au}\:\mathrm{moins} \\ $$$$\mathrm{une}\:\mathrm{photocopieuse}\:\mathrm{couleur}\:\mathrm{est}\:\mathrm{le} \\ $$$$\mathrm{complement}\:\mathrm{de}\:\mathrm{ce}\:\mathrm{qui}\:\mathrm{precede}\:: \\ $$$$\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right)\:=\:\mathrm{P}\left(\mathrm{X}\geqslant\mathrm{1}\right)\:=\:\mathrm{1}−{p}\left(\mathrm{X}=\mathrm{0}\right)\:=\:\mathrm{1}−\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}}\right)^{{n}} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{4}− \\ $$$$\mathrm{A}\cap\mathrm{B}\:\mathrm{est}\:\mathrm{l}'\mathrm{evenement}\:“{on}\:{a}\:{utilise}\:{au} \\ $$$${moins}\:{une}\:{photocopieuse}\:{couleur} \\ $$$${et}\:{on}\:{a}\:{utilise}\:{les}\:{deux}\:{photocopieurs}'' \\ $$$$\mathrm{En}\:\mathrm{fait},\:\mathrm{A}\cap\mathrm{B}\:=\:\overset{−} {\mathrm{B}} \\ $$$$\mathrm{Les}\:\mathrm{evenements}\:\mathrm{A}\:\mathrm{et}\:\mathrm{B}\:\mathrm{sont} \\ $$$$\mathrm{independants}\:\mathrm{si}\:\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\cap\mathrm{B}\right)\:=\:{p}\left(\mathrm{A}\right){p}\left(\mathrm{B}\right) \\ $$$$\mathrm{Mais}\:\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\right)^{{n}} +\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}}\right)^{{n}} \neq\:\left(\mathrm{1}−\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}}\right)^{{n}} \right)\left(\mathrm{1}−\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\right)^{{n}} −\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}}\right)^{{n}} \right) \\ $$$$\mathrm{donc}\:\mathrm{A}\:\mathrm{et}\:\mathrm{B}\:\mathrm{sont}\:\mathrm{dependants}. \\ $$
Commented by puissant last updated on 16/Jul/21
merci prof
$$\mathrm{merci}\:\mathrm{prof} \\ $$
Commented by puissant last updated on 16/Jul/21
monsieur pourquoi le n la a la premiere question..? svp
$$\mathrm{monsieur}\:\mathrm{pourquoi}\:\mathrm{le}\:\mathrm{n}\:\mathrm{la}\:\mathrm{a}\:\mathrm{la}\:\mathrm{premiere} \\ $$$$\:\mathrm{question}..?\:\mathrm{svp} \\ $$
Commented by Olaf_Thorendsen last updated on 16/Jul/21
le pq^(n−1) est la probabilite d′une photocopieuse couleur mais il y a n facons de l′obtenir : avec la premiere personne ou le deuxieme ou la n^(ieme) le pq^(n−1) est la probabilite qu′une personne donnee ait une photopieuse couleur. En fait on a : proba(1ere pers.)+proba(2eme pers.) +...+proba(n^(ieme) pers.) =qp^(n−1) XOR qp^(n−1) ....XOR qp^(n−1) = n fois qp^(n−1)
$${le}\:{pq}^{{n}−\mathrm{1}} \:{est}\:{la}\:{probabilite}\:{d}'{une} \\ $$$${photocopieuse}\:{couleur}\:{mais}\:{il}\:{y}\:{a}\:{n} \\ $$$${facons}\:{de}\:{l}'{obtenir}\::\:{avec}\:{la}\:{premiere} \\ $$$${personne}\:{ou}\:{le}\:{deuxieme}\:{ou}\:{la}\:{n}^{{ieme}} \\ $$$${le}\:{pq}^{{n}−\mathrm{1}} \:{est}\:{la}\:{probabilite}\:{qu}'{une} \\ $$$${personne}\:{donnee}\:{ait}\:{une}\:{photopieuse} \\ $$$${couleur}.\:{En}\:{fait}\:{on}\:{a}\:: \\ $$$${proba}\left(\mathrm{1}{ere}\:{pers}.\right)+{proba}\left(\mathrm{2}{eme}\:{pers}.\right) \\ $$$$+…+{proba}\left({n}^{{ieme}} \:{pers}.\right) \\ $$$$={qp}^{{n}−\mathrm{1}} \:\mathrm{XOR}\:{qp}^{{n}−\mathrm{1}} ….\mathrm{XOR}\:{qp}^{{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$=\:{n}\:{fois}\:{qp}^{{n}−\mathrm{1}} \\ $$

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