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Question-146910

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Question Number 146910 by puissant last updated on 16/Jul/21
Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 16/Jul/21
Soit V l′evenement “etre vaccine” et M celui “etre malade”. Les evenements contraires seront notes par V^− et M^− . a− On a vaccine un quart de la population donc p(V) = (1/4) donc p(V^− ) = (3/4). Utilisons a present le fait que parmi les vaccines un sur douze avait contracte la maladie. Cela nous donne p(M/V) = (1/(12)). De plus, parmi les malades, on trouve en moyenne un vacine pour quatre non vaccines. Cela se traduit par p(V/M) = (1/5), il en resulte que p(V^− /M) = (4/5). Utilisons la relation p(V/M)p(M) = p(M/V)p(V) qui donne apres remplaement (1/5)p(M) = (1/(12)).(1/4), c′est−a−dire p(M) = (5/(48)). b− L′efficacite du vaccin revient a comparer la probabilite p(M/V) d′etre malade ayant ete vaccine et la probabilite p(M/V^− ) d′etre malade sans avoir ete vaccine. Il reste donc a calculer p (M/V^− ). On a : p(M/V^− )p (V^− ) = p(V^− /M)p(M) qui donne apres remplacement p(M/V^− )(3/4) = (4/5).(5/(48)) = (1/(12)) donc p(M/V^− ) = (1/9). c− On sait que p(M/V) = (1/(12)) et on en conclut que le vaccin nest pas tres performant.
$$\mathrm{Soit}\:\mathrm{V}\:\mathrm{l}'\mathrm{evenement}\:“\mathrm{etre}\:\mathrm{vaccine}'' \\ $$$$\mathrm{et}\:\mathrm{M}\:\mathrm{celui}\:“\mathrm{etre}\:\mathrm{malade}''.\:\mathrm{Les} \\ $$$$\mathrm{evenements}\:\mathrm{contraires}\:\mathrm{seront}\:\mathrm{notes}\:\mathrm{par} \\ $$$$\overset{−} {\mathrm{V}}\:\mathrm{et}\:\overset{−} {\mathrm{M}}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{a}− \\ $$$$\mathrm{On}\:\mathrm{a}\:\mathrm{vaccine}\:\mathrm{un}\:\mathrm{quart}\:\mathrm{de}\:\mathrm{la}\:\mathrm{population} \\ $$$$\mathrm{donc}\:{p}\left(\mathrm{V}\right)\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:\mathrm{donc}\:\mathrm{p}\left(\overset{−} {\mathrm{V}}\right)\:=\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}. \\ $$$$\mathrm{Utilisons}\:\mathrm{a}\:\mathrm{present}\:\mathrm{le}\:\mathrm{fait}\:\mathrm{que}\:\mathrm{parmi}\:\mathrm{les} \\ $$$$\mathrm{vaccines}\:\mathrm{un}\:\mathrm{sur}\:\mathrm{douze}\:\mathrm{avait}\:\mathrm{contracte} \\ $$$$\mathrm{la}\:\mathrm{maladie}.\:\mathrm{Cela}\:\mathrm{nous}\:\mathrm{donne} \\ $$$${p}\left(\mathrm{M}/\mathrm{V}\right)\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}.\:\mathrm{De}\:\mathrm{plus},\:\mathrm{parmi}\:\mathrm{les}\:\mathrm{malades}, \\ $$$$\mathrm{on}\:\mathrm{trouve}\:\mathrm{en}\:\mathrm{moyenne}\:\mathrm{un}\:\mathrm{vacine}\:\mathrm{pour} \\ $$$$\mathrm{quatre}\:\mathrm{non}\:\mathrm{vaccines}.\:\mathrm{Cela}\:\mathrm{se}\:\mathrm{traduit} \\ $$$$\mathrm{par}\:{p}\left(\mathrm{V}/\mathrm{M}\right)\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}},\:\mathrm{il}\:\mathrm{en}\:\mathrm{resulte}\:\mathrm{que} \\ $$$${p}\left(\overset{−} {\mathrm{V}}/\mathrm{M}\right)\:=\:\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{5}}.\:\mathrm{Utilisons}\:\mathrm{la}\:\mathrm{relation} \\ $$$${p}\left(\mathrm{V}/\mathrm{M}\right){p}\left(\mathrm{M}\right)\:=\:{p}\left(\mathrm{M}/\mathrm{V}\right){p}\left(\mathrm{V}\right)\:\mathrm{qui} \\ $$$$\mathrm{donne}\:\mathrm{apres}\:\mathrm{remplaement} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}{p}\left(\mathrm{M}\right)\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}.\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}},\:\mathrm{c}'\mathrm{est}−\mathrm{a}−\mathrm{dire} \\ $$$${p}\left(\mathrm{M}\right)\:=\:\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{48}}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{b}− \\ $$$$\mathrm{L}'\mathrm{efficacite}\:\mathrm{du}\:\mathrm{vaccin}\:\mathrm{revient}\:\mathrm{a} \\ $$$$\mathrm{comparer}\:\mathrm{la}\:\mathrm{probabilite}\:{p}\left(\mathrm{M}/\mathrm{V}\right)\:\mathrm{d}'\mathrm{etre} \\ $$$$\mathrm{malade}\:\mathrm{ayant}\:\mathrm{ete}\:\mathrm{vaccine}\:\mathrm{et}\:\mathrm{la} \\ $$$$\mathrm{probabilite}\:{p}\left(\mathrm{M}/\overset{−} {\mathrm{V}}\right)\:\mathrm{d}'\mathrm{etre}\:\mathrm{malade}\:\mathrm{sans} \\ $$$$\mathrm{avoir}\:\mathrm{ete}\:\mathrm{vaccine}.\:\mathrm{Il}\:\mathrm{reste}\:\mathrm{donc}\:\:\mathrm{a} \\ $$$$\mathrm{calculer}\:\mathrm{p}\:\left(\mathrm{M}/\overset{−} {\mathrm{V}}\right).\:\mathrm{On}\:\mathrm{a}\:: \\ $$$${p}\left(\mathrm{M}/\overset{−} {\mathrm{V}}\right)\mathrm{p}\:\left(\overset{−} {\mathrm{V}}\right)\:=\:{p}\left(\overset{−} {\mathrm{V}}/\mathrm{M}\right){p}\left(\mathrm{M}\right)\:\mathrm{qui} \\ $$$$\mathrm{donne}\:\mathrm{apres}\:\mathrm{remplacement} \\ $$$${p}\left(\mathrm{M}/\overset{−} {\mathrm{V}}\right)\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\:=\:\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{5}}.\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{48}}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}\:\mathrm{donc} \\ $$$${p}\left(\mathrm{M}/\overset{−} {\mathrm{V}}\right)\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{c}− \\ $$$$\mathrm{On}\:\mathrm{sait}\:\mathrm{que}\:{p}\left(\mathrm{M}/\mathrm{V}\right)\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}\:\mathrm{et}\:\mathrm{on}\:\mathrm{en} \\ $$$$\mathrm{conclut}\:\mathrm{que}\:\mathrm{le}\:\mathrm{vaccin}\:\mathrm{nest}\:\mathrm{pas}\:\mathrm{tres} \\ $$$$\mathrm{performant}. \\ $$

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