Question Number 147018 by puissant last updated on 17/Jul/21
Commented by Tinku Tara last updated on 17/Jul/21
$$\mathrm{Please}\:\mathrm{can}\:\mathrm{you}\:\mathrm{rotate}\:\mathrm{image}\:\mathrm{before} \\ $$$$\mathrm{uploading}. \\ $$$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{You}\:\mathrm{for}\:\mathrm{your}\:\mathrm{cooperation} \\ $$
Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 17/Jul/21
$${f}\left({x}\right)\:=\:{ke}^{−\mid{x}\mid} \\ $$$${f}\:\mathrm{est}\:\mathrm{definie}\:\mathrm{sur}\:\mathbb{R}. \\ $$$$\left.\mathrm{1}\right) \\ $$$$\eta\:=\:\int_{−\infty} ^{+\infty} {f}\left({x}\right){dx} \\ $$$$\eta\:=\:\int_{−\infty} ^{+\infty} {ke}^{−\mid{x}\mid} {dx}\:=\:\mathrm{2}{k}\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} {e}^{−{x}} {dx} \\ $$$$\eta\:=\:\mathrm{2}{k}\left[−{e}^{−{x}} \right]_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \:=\:\mathrm{2}{k}\left(−\mathrm{0}+\mathrm{1}\right)\:=\:\mathrm{2}{k} \\ $$$$ \\ $$$${f}\:\mathrm{est}\:\mathrm{une}\:\mathrm{densite}\:\mathrm{de}\:\mathrm{probabilite} \\ $$$$\mathrm{si}\:\eta\:=\:\mathrm{1}.\:\mathrm{C}'\mathrm{est}−\mathrm{a}−\mathrm{dire}\:\mathrm{si}\:{k}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$${f}\left({x}\right)\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{e}^{−\mid{x}\mid} \\ $$$$ \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\: \\ $$$$\mathrm{La}\:\mathrm{fonction}\:\mathrm{F}\:\mathrm{de}\:\mathrm{repartition}\:\mathrm{de}\:{f}\:\mathrm{est} \\ $$$$\mathrm{alors}\:\mathrm{donnee}\:\mathrm{par}\:: \\ $$$$\mathrm{F}\left({x}\right)\:=\:\int_{−\infty} ^{{x}} {f}\left({t}\right){dt}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{−\infty} ^{{x}} {e}^{−\mid{t}\mid} {dt} \\ $$$$\mathrm{Explicitons}\:\mathrm{F}\:\mathrm{en}\:\mathrm{etudiant}\:\mathrm{deux}\:\mathrm{cas}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{1er}\:\mathrm{cas}\::\:{x}\leqslant\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{F}\left({x}\right)\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{−\infty} ^{{x}} {e}^{−\mid{t}\mid} {dt}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{−\infty} ^{{x}} {e}^{{t}} {dt} \\ $$$$\mathrm{F}\left({x}\right)\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[{e}^{{t}} \right]_{−\infty} ^{{x}} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{e}^{{x}} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{2eme}\:\mathrm{cas}\::\:{x}>\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{F}\left({x}\right)\:=\:\mathbb{P}\left(\mathrm{X}\leqslant{x}\right)\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{−\infty} ^{{x}} {e}^{−\mid{t}\mid} {dt}\: \\ $$$$\mathrm{F}\left({x}\right)\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{−\infty} ^{\mathrm{0}} {e}^{{t}} {dt}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{{x}} {e}^{−{t}} {dt} \\ $$$$\mathrm{F}\left({x}\right)\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[−{e}^{−{t}} \right]_{\mathrm{0}} ^{{x}} \\ $$$$\mathrm{F}\left({x}\right)\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}−{e}^{−{x}} \right) \\ $$$$\mathrm{F}\left({x}\right)\:=\:\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{e}^{−{x}} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Finalement}\:: \\ $$$$\mathrm{F}\left({x}\right)\:=\:\begin{cases}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{e}^{{x}} ,\:{x}\leqslant\mathrm{0}}\\{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{e}^{−{x}} ,\:{x}>\mathrm{0}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{On}\:\mathrm{voit}\:\mathrm{que}\:\mathrm{F}\:\mathrm{est}\:\mathrm{continue}\:\mathrm{partout} \\ $$$$\mathrm{sur}\:\mathbb{R},\:\mathrm{en}\:\mathrm{particulier}\:\mathrm{en}\:\mathrm{0}\:: \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{0}^{−} \right)\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{e}^{\mathrm{0}} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\: \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{0}^{+} \right)\:=\:\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{e}^{−\mathrm{0}} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\: \\ $$$$ \\ $$$$\left.\mathrm{3}\right) \\ $$$$\mathrm{Y}\:=\:\mathrm{X}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{Soit}\:\mathrm{G}\:\mathrm{la}\:\mathrm{fonction}\:\mathrm{de}\:\mathrm{repartion}\:\mathrm{de}\:\mathrm{Y}. \\ $$$$\mathrm{G}\left({y}\right)\:=\:\mathbb{P}\left(\mathrm{Y}\leqslant{y}\right)\:=\:\mathbb{P}\left(\mathrm{X}^{\mathrm{2}} \leqslant{y}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{1er}\:\mathrm{cas}\::\:\mathrm{si}\:{y}<\mathrm{0}\:\mathrm{alors}\:\mathrm{G}\left({y}\right)\:=\:\mathrm{0}\:\mathrm{car}\:\mathrm{on} \\ $$$$\mathrm{n}'\mathrm{a}\:\mathrm{jamais}\:\mathrm{X}^{\mathrm{2}} <{y}\:\left(\mathrm{un}\:\mathrm{carre}\:\mathrm{est}\:\mathrm{toujours}\right. \\ $$$$\left.\mathrm{positif}\right). \\ $$$$\mathrm{2eme}\:\mathrm{cas}\::\:{y}\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{G}\left({y}\right)\:=\:\mathbb{P}\left(\mathrm{X}^{\mathrm{2}} \leqslant{y}\right)\:=\:\mathbb{P}\left(−\sqrt{{y}}\leqslant\mathrm{X}\leqslant\sqrt{{y}}\right) \\ $$$$\mathrm{G}\left({y}\right)\:=\:\mathrm{F}\left(\sqrt{{y}}\right)−\mathrm{F}\left(−\sqrt{{y}}\right) \\ $$$$\mathrm{G}\left({y}\right)\:=\:\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{e}^{−\sqrt{{y}}} \right)−\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{e}^{\sqrt{{y}}} \right) \\ $$$$\mathrm{G}\left({y}\right)\:=\:\frac{{e}^{\sqrt{{y}}} −{e}^{−\sqrt{{y}}} }{\mathrm{2}}\:=\:\mathrm{sinh}\left(\sqrt{{y}}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{La}\:\mathrm{densite}\:{g}\:\mathrm{de}\:\mathrm{Y}\:\mathrm{est}\:\mathrm{par}\:\mathrm{definition}\:\mathrm{la} \\ $$$$\mathrm{derivee}\:\mathrm{de}\:\mathrm{sa}\:\mathrm{fonction}\:\mathrm{de}\:\mathrm{repartition}\:\mathrm{G}. \\ $$$${g}\left({y}\right)\:=\:\frac{{d}}{{dy}}\left(\mathrm{sinh}\left(\sqrt{{y}}\right)\right) \\ $$$${g}\left({y}\right)\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{{y}}}\mathrm{cosh}\left(\sqrt{{y}}\right),\:\mathrm{si}\:{y}>\mathrm{0}\:\left(\mathrm{et}\:\mathrm{0}\:\mathrm{si}\:{y}\leqslant\mathrm{0}\right) \\ $$$$\mathrm{On}\:\mathrm{voit}\:\mathrm{que}\:: \\ $$$$\int_{−\infty} ^{+\infty} {g}\left({y}\right){dy}\:=\:\underset{{y}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\mathrm{G}\left({y}\right)\:=\:+\infty\:\neq\:\mathrm{1} \\ $$$${g}\:\mathrm{n}'\mathrm{est}\:\mathrm{donc}\:\mathrm{pas}\:\mathrm{une}\:\mathrm{densite}\:\mathrm{de} \\ $$$$\mathrm{probabilite}. \\ $$