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Question-147130

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Question Number 147130 by puissant last updated on 18/Jul/21
Commented by puissant last updated on 18/Jul/21
merci prof
merciprof
Commented by Olaf_Thorendsen last updated on 18/Jul/21
J′ai oublie de calculer la variance et l′ecart−type ! V(X) ≈ 43,51%×(7−7,56)^2 +56,45%(8−7,56)^2 V(X) ≈ 0,24 σ(X) = (√(V(X))) ≈ 0,50
J′aioubliedecalculerlavarianceetl′ecart−type!V(X)≈43,51%×(7−7,56)2+56,45%(8−7,56)2V(X)≈0,24σ(X)=V(X)≈0,50
Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 18/Jul/21
1) Soit G la variable aleatoire qui mesure le nombre de gauchers dans un groupe de huit personnes de cette population. G prend les valeurs 0 a 8. On peut aussi appeler D la variable aleatoire qui mesure le nombre de droitiers. En fait, D = 8−G 1.1. Probabilite de zero gaucher : P(G=0) = P(D=8) P(G=0) =((9/(10)))×((9/(10)))×...×((9/(10))) P(G=0) = ((9/(10)))^8 La probabilite d′au moins un gaucher est le complement : P(G≥1) = 1−P(G=0) = 1−((9/(10)))^8 P(G≥1) ≈ 56,95% 1.2. Probabilite pour que les 3 premieres personnes du groupe de 8 soient gaucheres, les 5 autres droitieres : ((1/(10)))^3 ×((9/(10)))^5 . Mais ce n′est pas forcement les 3 premieres personnes qui sont gaucheres Il faut multiplier par le nombre de combinaisons possibles : C_3 ^8 P(G=3) = P(D=5) = C_3 ^8 ((1/(10)))^3 ((9/(10)))^5 P(G=3) ≈ 3,31% 2) Il y a 10 paires de ciseaux, 7 pour droitiers et 3 pour gauchers. Pour que les 8 membres du personnel trouvent une paire de ciseaux convenable, il faut necessairement 1, 2 ou 3 gauchers. Plus de trois gauchers ne convient pas car il n′y a que 3 paires de ciseaux pour gauchers. Zero gaucher ne convient pas car alors il y aurait 8 droitiers et il n′y a que 7 paires de ciseaux pour droitiers. Appelons “OK” l′evenement “chaque membre du personnel a une paire de ciseaux convenable” alors : P(“OK”) = P(G=1)+P(G=2)+P(G=3) P(“OK”) = C_1 ^8 ((1/(10)))((9/(10)))^7 +C_2 ^8 ((1/(10)))^2 ((9/(10)))^6 +C_3 ^8 ((1/(10)))^3 ((9/(10)))^5 P(“OK”) ≈ 56,45% 3) Soit X la variable aleatoire prenant pour valeur le nombre de personnes ayant trouve une bonne paire de ciseaux. X prend les valeurs de 0 a 8. On batit tous les doublets possibles et on determine dans chaque cas la valeur de X : (G=0,D=8) : X = 7 (ok pour 7D) (G=1,D=7) : X = 8 (ok pour 1G et 7D) (G=2,D=6) : X = 8 (ok pour 2G et 6D) (G=3,D=5) : X = 8 (ok pour 3G et 5D) (G=4,D=4) : X = 7 (ok pour 3G et 4D) (G=5,D=3) : X = 6 (ok pour 3G et 3D) (G=6,D=2) : X = 5 (ok pour 3G et 2D) (G=7,D=1) : X = 4 (ok pour 3G et 1D) (G=8,D=0) : X = 3 (ok pour 3G) On a donc : P(X=0) = 0 P(X=1) = 0 P(X=2) = 0 P(X=3) = P(G=8) = C_8 ^8 ((1/(10)))^8 P(X=4) = P(G=7) = C_7 ^8 ((1/(10)))^7 ((9/(10))) P(X=5) = P(G=6) = C_6 ^8 ((1/(10)))^6 ((9/(10)))^2 P(X=6) = P(G=5) = C_5 ^8 ((1/(10)))^5 ((9/(10)))^3 P(X=7) = P(G=0)+ P(G=4) = C_0 ^8 ((9/(10)))^8 +C_4 ^8 ((1/(10)))^4 ((9/(10)))^5 P(X=8) = P(“OK”) Sortons la calculette : P(X=0) = 0% exactement P(X=1) = 0% exactement P(X=2) = 0% exaxtement P(X=3) ≈ 0,00% P(X=4) ≈ 0,00% P(X=5) ≈ 0,00% P(X=6) ≈ 0,00% P(X=7) ≈ 43,51% P(X=8) ≈ 56,45% On constate d′abord que la somme des probabilites est bien egale a 1 (aux erreurs d′arrondis pres) et que les probabilites se concentrent tres fortement sur les valeurs X = 7 et X = 8 Il y a donc de tres fortes chances qu′au moins 7 personnes aient une paire de ciseaux convenable. L′esperance mathematique E(X) de la variable X se calcule alors de maniere triviale : E(X) ≈ (X=7)×P(X=7)+(X=8)×P(X=8) E(X) ≈ 7×43,51%+8×56,45% E(X) ≈ 7,56
1)SoitGlavariablealeatoirequimesurelenombredegauchersdansungroupedehuitpersonnesdecettepopulation.Gprendlesvaleurs0a8.OnpeutaussiappelerDlavariablealeatoirequimesurelenombrededroitiers.Enfait,D=8−G1.1.Probabilitedezerogaucher:P(G=0)=P(D=8)P(G=0)=(910)×(910)×…×(910)P(G=0)=(910)8Laprobabilited′aumoinsungaucherestlecomplement:P(G⩾1)=1−P(G=0)=1−(910)8P(G⩾1)≈56,95%1.2.Probabilitepourqueles3premierespersonnesdugroupede8soientgaucheres,les5autresdroitieres:(110)3×(910)5.Maiscen′estpasforcementles3premierespersonnesquisontgaucheresIlfautmultiplierparlenombredecombinaisonspossibles:C38P(G=3)=P(D=5)=C38(110)3(910)5P(G=3)≈3,31%2)Ilya10pairesdeciseaux,7pourdroitierset3pourgauchers.Pourqueles8membresdupersonneltrouventunepairedeciseauxconvenable,ilfautnecessairement1,2ou3gauchers.Plusdetroisgauchersneconvientpascariln′yaque3pairesdeciseauxpourgauchers.Zerogaucherneconvientpascaralorsilyaurait8droitiersetiln′yaque7pairesdeciseauxpourdroitiers.Appelons“OK″l′evenement“chaquemembredupersonnelaunepairedeciseauxconvenable″alors:P(“OK″)=P(G=1)+P(G=2)+P(G=3)P(“OK″)=C18(110)(910)7+C28(110)2(910)6+C38(110)3(910)5P(“OK″)≈56,45%3)SoitXlavariablealeatoireprenantpourvaleurlenombredepersonnesayanttrouveunebonnepairedeciseaux.Xprendlesvaleursde0a8.OnbatittouslesdoubletspossiblesetondeterminedanschaquecaslavaleurdeX:(G=0,D=8):X=7(okpour7D)(G=1,D=7):X=8(okpour1Get7D)(G=2,D=6):X=8(okpour2Get6D)(G=3,D=5):X=8(okpour3Get5D)(G=4,D=4):X=7(okpour3Get4D)(G=5,D=3):X=6(okpour3Get3D)(G=6,D=2):X=5(okpour3Get2D)(G=7,D=1):X=4(okpour3Get1D)(G=8,D=0):X=3(okpour3G)Onadonc:P(X=0)=0P(X=1)=0P(X=2)=0P(X=3)=P(G=8)=C88(110)8P(X=4)=P(G=7)=C78(110)7(910)P(X=5)=P(G=6)=C68(110)6(910)2P(X=6)=P(G=5)=C58(110)5(910)3P(X=7)=P(G=0)+P(G=4)=C08(910)8+C48(110)4(910)5P(X=8)=P(“OK″)Sortonslacalculette:P(X=0)=0%exactementP(X=1)=0%exactementP(X=2)=0%exaxtementP(X=3)≈0,00%P(X=4)≈0,00%P(X=5)≈0,00%P(X=6)≈0,00%P(X=7)≈43,51%P(X=8)≈56,45%Onconstated′abordquelasommedesprobabilitesestbienegalea1(auxerreursd′arrondispres)etquelesprobabilitesseconcentrenttresfortementsurlesvaleursX=7etX=8Ilyadoncdetresforteschancesqu′aumoins7personnesaientunepairedeciseauxconvenable.L′esperancemathematiqueE(X)delavariableXsecalculealorsdemanieretriviale:E(X)≈(X=7)×P(X=7)+(X=8)×P(X=8)E(X)≈7×43,51%+8×56,45%E(X)≈7,56

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