Question Number 147135 by puissant last updated on 18/Jul/21
Answered by gsk2684 last updated on 18/Jul/21
$${let}\:{y}={x}^{{x}^{{x}^{.} } } \:{then}\:{y}={x}^{{y}} \\ $$$$\mathrm{ln}\:{y}\:=\:{y}\:\mathrm{ln}\:{x} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{{y}}\:\frac{{dy}}{{dx}}={y}\:\frac{\mathrm{1}}{{x}}\:+\:\frac{{dy}}{{dx}}\:\mathrm{ln}\:{x} \\ $$$$\left(\frac{\mathrm{1}}{{y}}−\mathrm{ln}\:{x}\right)\:\frac{{dy}}{{dx}}=\frac{{y}}{{x}} \\ $$$$\frac{{dy}}{{dx}}=\frac{{y}^{\mathrm{2}} }{{x}\left(\mathrm{1}−{y}\:\mathrm{ln}\:{x}\right)} \\ $$
Commented by puissant last updated on 18/Jul/21
$$\mathrm{thanks} \\ $$
Answered by puissant last updated on 18/Jul/21
$$\mathrm{posons}\:\:\mathrm{y}=\mathrm{x}^{\mathrm{x}^{\mathrm{x}^{\mathrm{x}..} } } \Rightarrow\:\mathrm{y}=\mathrm{x}^{\mathrm{y}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{ln}\left(\mathrm{y}\right)=\mathrm{yln}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{y}}=\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)+\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)×\mathrm{y}+\frac{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{x}} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{1}−\mathrm{yln}\left(\mathrm{x}\right)\right)=\frac{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{x}} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{x}^{\mathrm{x}^{.^{.} } } } \right)=\frac{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{x}^{\mathrm{x}^{\mathrm{x}^{.} } } } \right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{x}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{x}^{\mathrm{x}^{\mathrm{x}^{\mathrm{x}} } } } \mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)\right)}.. \\ $$
Answered by mr W last updated on 18/Jul/21
$${y}={x}^{{y}} \\ $$$${y}^{\frac{\mathrm{1}}{{y}}} ={x} \\ $$$$\left(\frac{\mathrm{1}}{{y}}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{{y}}} =\frac{\mathrm{1}}{{x}} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{{y}}\mathrm{ln}\:\frac{\mathrm{1}}{{y}}=\mathrm{ln}\:\frac{\mathrm{1}}{{x}} \\ $$$${e}^{\mathrm{ln}\:\frac{\mathrm{1}}{{y}}} \mathrm{ln}\:\frac{\mathrm{1}}{{y}}=\mathrm{ln}\:\frac{\mathrm{1}}{{x}} \\ $$$$\mathrm{ln}\:\frac{\mathrm{1}}{{y}}={W}\left(\mathrm{ln}\:\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right) \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{{y}}={e}^{{W}\left(\mathrm{ln}\:\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)} =\frac{\mathrm{ln}\:\frac{\mathrm{1}}{{x}}}{{W}\left(\mathrm{ln}\:\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)} \\ $$$$\Rightarrow{y}=−\frac{{W}\left(−\mathrm{ln}\:{x}\right)}{\mathrm{ln}\:{x}} \\ $$$$ \\ $$$${y}={x}^{{y}} \\ $$$$\mathrm{ln}\:{y}={y}\mathrm{ln}\:{x} \\ $$$$\frac{{y}'}{{y}}={y}'\mathrm{ln}\:{x}−\frac{{y}}{{x}} \\ $$$$\Rightarrow{y}'=\frac{{y}}{{x}\left(\mathrm{ln}\:{x}−\frac{\mathrm{1}}{{y}}\right)}=−\frac{{W}\left(−\mathrm{ln}\:{x}\right)}{{x}\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \:{x}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{W}\left(−\mathrm{ln}\:{x}\right)}\right)} \\ $$