Question Number 147223 by mathlove last updated on 19/Jul/21
Commented by bramlexs22 last updated on 19/Jul/21
$$\:\:\:\mathrm{2}^{\mathrm{3x}} +\mathrm{2}^{\mathrm{x}} .\mathrm{3}^{\mathrm{2x}} −\mathrm{2}.\mathrm{3}^{\mathrm{3x}} \:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\:\begin{cases}{\mathrm{2}^{\mathrm{x}} =\mathrm{u}}\\{\mathrm{3}^{\mathrm{x}} =\mathrm{v}}\end{cases}\:\Rightarrow\mathrm{u}^{\mathrm{3}} +\mathrm{u}.\mathrm{v}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2v}^{\mathrm{3}} =\:\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{1}+\left(\frac{\mathrm{v}}{\mathrm{u}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{v}}{\mathrm{u}}\right)^{\mathrm{3}} =\:\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{for}\:\mathrm{t}=\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{u}=\mathrm{v}\: \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}^{\mathrm{x}} \:=\:\mathrm{3}^{\mathrm{x}} \:;\:\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{x}} =\mathrm{1}\:;\:\mathrm{x}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{for}\:\mathrm{2t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{t}+\mathrm{1}=\mathrm{0}\:;\:\mathrm{not}\:\mathrm{real}\:\mathrm{for}\:\mathrm{x} \\ $$$$ \\ $$
Answered by puissant last updated on 19/Jul/21
$$\Rightarrow\:\mathrm{8}^{\mathrm{x}} +\mathrm{18}^{\mathrm{x}} =\mathrm{2}×\mathrm{27}^{\mathrm{x}} \\ $$$$\Rightarrow\left(\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{18}}\right)^{\mathrm{x}} +\mathrm{1}=\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{27}}{\mathrm{18}}\right)^{\mathrm{x}} \\ $$$$\Rightarrow\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2x}} +\mathrm{1}=\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{x}} \: \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{A}=\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{x}} \Rightarrow\:\mathrm{A}^{−\mathrm{1}} =\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{x}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{A}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}=\mathrm{2A}^{−\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{A}^{\mathrm{3}} +\mathrm{A}−\mathrm{2}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{A}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{A}^{\mathrm{2}} +\mathrm{A}+\mathrm{2}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{A}=\mathrm{1}\:\mathrm{or}\:\mathrm{A}^{\mathrm{2}} +\mathrm{A}+\mathrm{2}=\mathrm{0}\left(\mathrm{impossible}\right) \\ $$$$\mathrm{A}=\mathrm{1}\:\Rightarrow\:\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{x}} =\mathrm{1}\:\Rightarrow\:\mathrm{e}^{\mathrm{xln}\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)} =\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{xln}\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\mathrm{x}=\mathrm{0}.. \\ $$$$\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{S}_{\mathbb{R}} =\left\{\mathrm{0}\right\}… \\ $$
Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 19/Jul/21
$$\left(\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{18}}\right)^{\mathrm{x}} \overset{?} {=}\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2x}} \\ $$
Commented by puissant last updated on 19/Jul/21
$$\left(\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{18}}\right)^{\mathrm{x}} =\left(\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{9}}\right)^{\mathrm{x}} =\left(\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} }\right)^{\mathrm{x}} =\left(\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{x}} =\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2x}} .. \\ $$
Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 19/Jul/21
$$\mathrm{Ok}\:\mathrm{sir},\:\mathrm{thank}\:\mathrm{you} \\ $$
Commented by otchereabdullai@gmail.com last updated on 19/Jul/21
$$\mathrm{nice}! \\ $$