Question Number 147535 by tabata last updated on 21/Jul/21
Commented by tabata last updated on 21/Jul/21
$${prove}\:{that} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 21/Jul/21
$$\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{a}^{\mathrm{n}} \:\:\:\:\mathrm{with}\:\:\mid\mathrm{a}\mid<\mathrm{1}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{a}\right)=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{na}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\Rightarrow\mathrm{af}^{'} \left(\mathrm{a}\right)=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{na}^{\mathrm{n}} \:\mathrm{by}\:\mathrm{derivation}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{a}\right)+\mathrm{af}^{\left(\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{a}\right)=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{a}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\Rightarrow\mathrm{af}^{'} \left(\mathrm{a}\right)+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{f}^{\left(\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{a}\right)=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \mathrm{a}^{\mathrm{n}} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)=\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}}{\mathrm{a}−\mathrm{1}}\:\Rightarrow\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{a}\right)=\frac{\mathrm{na}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{a}^{\mathrm{n}} +\mathrm{1}}{\left(\mathrm{a}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}^{\left(\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{a}\right)=\frac{\left.\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{a}^{\mathrm{n}} −\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{a}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{a}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{2}\left(\mathrm{a}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{na}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{a}^{\mathrm{n}} \:+\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{a}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{a}^{\mathrm{n}} −\mathrm{a}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{a}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{2na}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:+\mathrm{2}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{a}^{\mathrm{n}} −\mathrm{2}}{\left(\mathrm{a}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{a}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{a}^{\mathrm{n}} −\mathrm{a}^{\mathrm{n}} \:+\mathrm{a}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \right)−\mathrm{2na}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:+\mathrm{2}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{a}^{\mathrm{n}} −\mathrm{2}}{\left(\mathrm{a}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$=\frac{\left(\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{n}−\mathrm{2n}\right)\mathrm{a}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} +\left(−\mathrm{2n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2n}+\mathrm{2n}+\mathrm{2}\right)\mathrm{a}^{\mathrm{n}} +\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{a}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{2}}{\left(\mathrm{a}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$=\frac{\left(\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{n}\right)\mathrm{a}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{2}\left(\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\mathrm{a}^{\mathrm{n}} \:+\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{a}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{2}}{\left(\mathrm{a}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{a}^{\mathrm{n}} \:=\frac{\mathrm{a}}{\left(\mathrm{a}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\left(\mathrm{na}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{a}^{\mathrm{n}} \:+\mathrm{1}\right) \\ $$$$−\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{1}−\mathrm{a}\right)^{\mathrm{3}} }\left\{\:\left(\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{n}\right)\mathrm{a}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{2}\left(\mathrm{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\mathrm{a}^{\mathrm{n}} \:+\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{a}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{2}\right\} \\ $$$$\mathrm{rest}\:\mathrm{to}\:\mathrm{simplify}\:\mathrm{calculus}… \\ $$