Question-147553

Question Number 147553 by Ar Brandon last updated on 21/Jul/21

Answered by ArielVyny last updated on 22/Jul/21

1)Formule de Poincarre se demontre par reccurence 2)soit f l′application qui a une lettre i on associe un destinataire ou f(i) est la lettre du destinataire i. cette application etant bijective card(Ω)=n! de ce fait la probabilite d′obtenir la bonne repartition est P=(1/(n!)) 3)probababilite pour qu′une lettre au moins arrive chez son destinataire. soit A_i =“la lettre i arrive chez son destinataire” on veut calculer P(A_1 ∩...∩A_n ) −si une personne recoit sa lettre alors les (n−1) autres pesonnes vont recevoir les (n−1)lettres restantes ainsi on pose k egale au nombres de personnes recevant chacune leur lettre on montre donc que P=(((n−k)!)/(n!)) k≥1 4)probabilite que aucune lettre n′arrive chez sont destinataire. on considere P=1−P′ ou P′ est la probabilite pour qu′aumoins une personne recoive sa lettre ainsi P=1−(((n−k)!)/(n!)) (k≥1) 5) probabilite qu′aucune lettre n′arrive a destination.

$$\left.\mathrm{1}\right){Formule}\:{de}\:{Poincarre}\:{se}\:{demontre}\:{par}\: \\ $$$${reccurence} \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right){soit}\:{f}\:\:{l}'{application}\:{qui}\:{a}\:{une}\:{lettre}\:{i}\:{on}\: \\ $$$${associe}\:{un}\:{destinataire}\:{ou}\:{f}\left({i}\right)\:{est}\:{la}\:{lettre} \\ $$$${du}\:{destinataire}\:{i}.\:{cette}\:{application}\:{etant} \\ $$$${bijective}\:\:{card}\left(\Omega\right)={n}!\:{de}\:{ce}\:{fait}\:{la}\:{probabilite} \\ $$$${d}'{obtenir}\:{la}\:{bonne}\:{repartition}\:{est}\:{P}=\frac{\mathrm{1}}{{n}!} \\ $$$$\left.\mathrm{3}\right){probababilite}\:{pour}\:{qu}'{une}\:{lettre}\:{au}\:{moins} \\ $$$${arrive}\:{chez}\:{son}\:{destinataire}. \\ $$$${soit}\:{A}_{{i}} =“{la}\:{lettre}\:{i}\:{arrive}\:{chez}\:{son}\:{destinataire}'' \\ $$$${on}\:{veut}\:{calculer}\:{P}\left({A}_{\mathrm{1}} \cap…\cap{A}_{{n}} \right) \\ $$$$−{si}\:{une}\:{personne}\:{recoit}\:{sa}\:{lettre}\:{alors}\: \\ $$$${les}\:\left({n}−\mathrm{1}\right)\:{autres}\:{pesonnes}\:{vont}\:{recevoir}\:{les} \\ $$$$\left({n}−\mathrm{1}\right){lettres}\:{restantes} \\ $$$${ainsi}\:{on}\:{pose}\:{k}\:{egale}\:{au}\:{nombres}\:{de}\:{personnes} \\ $$$${recevant}\:{chacune}\:{leur}\:{lettre} \\ $$$${on}\:{montre}\:{donc}\:{que}\:{P}=\frac{\left({n}−{k}\right)!}{{n}!}\:\:\:{k}\geqslant\mathrm{1} \\ $$$$\left.\mathrm{4}\right){probabilite}\:{que}\:{aucune}\:{lettre}\:{n}'{arrive}\:{chez} \\ $$$${sont}\:{destinataire}. \\ $$$${on}\:{considere}\:{P}=\mathrm{1}−{P}'\:{ou}\:{P}'\:{est}\:{la}\:{probabilite} \\ $$$${pour}\:{qu}'{aumoins}\:{une}\:{personne}\:{recoive}\:{sa}\: \\ $$$${lettre}\:\:{ainsi}\:{P}=\mathrm{1}−\frac{\left({n}−{k}\right)!}{{n}!}\:\:\left({k}\geqslant\mathrm{1}\right) \\ $$$$\left.\mathrm{5}\right)\:{probabilite}\:{qu}'{aucune}\:{lettre}\:{n}'{arrive}\:{a}\: \\ $$$${destination}. \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$

Commented by ArielVyny last updated on 22/Jul/21

on note B l′evenement aucune lettre n′arrive a destination A=B^c tel que A=∪A_i d′apres <a formule de Poincarre vu a la question 1 on a P(A)=Σ(−1)^(k−1) S_k avec S_k =ΣP(A_(i1) ∩...∩A_n ) ainsi S_k =C_n ^k (((n−k)!)/(n!)) P(A)=Σ_(k=1) ^n (−1)^(k−1) (1/(k!)) d′ou P(B)=1−P(A) P(B)=Σ(−1)^(k−1) (1/(k!))

$${on}\:{note}\:{B}\:{l}'{evenement}\:{aucune}\:{lettre}\:{n}'{arrive}\:{a} \\ $$$${destination}\:{A}={B}^{{c}} \:\:{tel}\:{que}\:{A}=\cup{A}_{{i}} \\ $$$${d}'{apres}\:<{a}\:{formule}\:{de}\:{Poincarre}\:{vu}\:{a}\:{la} \\ $$$${question}\:\mathrm{1}\:{on}\:{a}\:{P}\left({A}\right)=\Sigma\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}−\mathrm{1}} {S}_{{k}} \\ $$$${avec}\:{S}_{{k}} =\Sigma{P}\left({A}_{{i}\mathrm{1}} \cap…\cap{A}_{{n}} \right) \\ $$$${ainsi}\:{S}_{{k}} ={C}_{{n}} ^{{k}} \frac{\left({n}−{k}\right)!}{{n}!} \\ $$$${P}\left({A}\right)=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{{k}!} \\ $$$${d}'{ou}\:{P}\left({B}\right)=\mathrm{1}−{P}\left({A}\right) \\ $$$${P}\left({B}\right)=\Sigma\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{{k}!} \\ $$

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