Question Number 148132 by Jonathanwaweh last updated on 25/Jul/21
Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 25/Jul/21
![1. ABCD est un rectangle et possede donc 4 angles droits que les bissectrices divisent a 45°. On a donc : BAE^( ) = EBA^( ) = GDC^( ) = GDC^( ) = 45° (1) Les triangles ABE et DGC sont donc des triangles isoceles rectangles respectivement en E et G. En outre AB = DC (2) Il decoule des remarques (1) et (2) que les 2 triangles ABE et DGC sont superposables. 2. Soit M le milieu du segment [AD] et N le milieu du segment [BC]. On considere la droite Δ = (MN). (on pourrait tout aussi bien definir Δ a partir des points F et H) La symetrie plane d′axe Δ (ou reflexion axiale d′axe Δ) est une isometrie qui transforme A en D, D en A, B en C, C en B, G en E, E en G, et H et F en eux−memes. La symetrie etant une isometrie, elle conserve les angles et les distances, et en particulier elle transforme le triangle ABE en triangle DGC et reciproquement, comme la symetrie est involutive, elle transforme le triangle DGC en triangle ABE. 3. De la remarque (1), il vient que : AEB^( ) = CGD^( ) = 90°. En faisant pivoter la figure de 90°, la logueur jouant le role de la largeur et la largeur jouant le role de la longueur, on deduit avec le meme raisonnement GHE^( ) = EFG^( ) = 90°. En resume, le quadrilatere EFGH a quatre angles droits, c′est donc un rectangle. (3) Mais comme la symetrie d′axe Δ est une isometrie, elle conserve les distances et donc : FE = FG et HG = HE (4) De (3) et (4), il vient que EFGH est un carre. 4. Pythagore help me ! • AE^2 +EB^2 = AB^2 = a^2 2AE^2 = a^2 ⇒ AE = (a/( (√2))) (5) • AH^2 +HD^2 = AD^2 = b^2 2AH^2 = b^2 ⇒ AH = (b/( (√2))) (6) Soit c le cote du carre. Avec (5) et (6) : c = AE−AH = ((a−b)/( (√2))) Remarque : si le rectangle initial devient carre, c′est−a−dire si a = b alors c = 0. Dans ce cas le carre EFGH est reduit a un point. C′est rigolo.](https://www.tinkutara.com/question/Q148149.png)
$$\mathrm{1}. \\ $$$$\mathrm{ABCD}\:\mathrm{est}\:\mathrm{un}\:\mathrm{rectangle}\:\mathrm{et}\:\mathrm{possede} \\ $$$$\mathrm{donc}\:\mathrm{4}\:\mathrm{angles}\:\mathrm{droits}\:\mathrm{que}\:\mathrm{les} \\ $$$$\mathrm{bissectrices}\:\mathrm{divisent}\:\mathrm{a}\:\mathrm{45}°. \\ $$$$\mathrm{On}\:\mathrm{a}\:\mathrm{donc}\:: \\ $$$$\widehat {\mathrm{BAE}}\:=\:\widehat {\mathrm{EBA}}\:=\:\widehat {\mathrm{GDC}}\:=\:\widehat {\mathrm{GDC}}\:=\:\mathrm{45}°\:\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{Les}\:\mathrm{triangles}\:\mathrm{ABE}\:\mathrm{et}\:\mathrm{DGC}\:\mathrm{sont}\:\mathrm{donc} \\ $$$$\mathrm{des}\:\mathrm{triangles}\:\mathrm{isoceles}\:\mathrm{rectangles} \\ $$$$\mathrm{respectivement}\:\mathrm{en}\:\mathrm{E}\:\mathrm{et}\:\mathrm{G}. \\ $$$$\mathrm{En}\:\mathrm{outre}\:\mathrm{AB}\:=\:\mathrm{DC}\:\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\mathrm{Il}\:\mathrm{decoule}\:\mathrm{des}\:\mathrm{remarques}\:\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{et}\:\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\mathrm{que}\:\mathrm{les}\:\mathrm{2}\:\mathrm{triangles}\:\mathrm{ABE}\:\mathrm{et}\:\mathrm{DGC}\:\mathrm{sont} \\ $$$$\mathrm{superposables}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{2}. \\ $$$$\mathrm{Soit}\:\mathrm{M}\:\mathrm{le}\:\mathrm{milieu}\:\mathrm{du}\:\mathrm{segment}\:\left[\mathrm{AD}\right] \\ $$$$\mathrm{et}\:\mathrm{N}\:\mathrm{le}\:\mathrm{milieu}\:\mathrm{du}\:\mathrm{segment}\:\left[\mathrm{BC}\right]. \\ $$$$\mathrm{On}\:\mathrm{considere}\:\mathrm{la}\:\mathrm{droite}\:\Delta\:=\:\left(\mathrm{MN}\right). \\ $$$$\left(\mathrm{on}\:\mathrm{pourrait}\:\mathrm{tout}\:\mathrm{aussi}\:\mathrm{bien}\right. \\ $$$$\left.\mathrm{definir}\:\Delta\:\mathrm{a}\:\mathrm{partir}\:\mathrm{des}\:\mathrm{points}\:\mathrm{F}\:\mathrm{et}\:\mathrm{H}\right) \\ $$$$\mathrm{La}\:\mathrm{symetrie}\:\mathrm{plane}\:\mathrm{d}'\mathrm{axe}\:\Delta\:\left(\mathrm{ou}\right. \\ $$$$\left.\mathrm{reflexion}\:\mathrm{axiale}\:\mathrm{d}'\mathrm{axe}\:\Delta\right)\:\mathrm{est}\:\mathrm{une} \\ $$$$\mathrm{isometrie}\:\mathrm{qui}\:\mathrm{transforme}\:\mathrm{A}\:\mathrm{en}\:\mathrm{D},\:\mathrm{D}\:\mathrm{en} \\ $$$$\mathrm{A},\:\mathrm{B}\:\mathrm{en}\:\mathrm{C},\:\mathrm{C}\:\mathrm{en}\:\mathrm{B},\:\mathrm{G}\:\mathrm{en}\:\mathrm{E},\:\mathrm{E}\:\mathrm{en}\:\mathrm{G},\:\mathrm{et}\: \\ $$$$\mathrm{H}\:\mathrm{et}\:\mathrm{F}\:\mathrm{en}\:\mathrm{eux}−\mathrm{memes}. \\ $$$$\mathrm{La}\:\mathrm{symetrie}\:\mathrm{etant}\:\mathrm{une}\:\mathrm{isometrie},\:\mathrm{elle} \\ $$$$\mathrm{conserve}\:\mathrm{les}\:\mathrm{angles}\:\mathrm{et}\:\mathrm{les}\:\mathrm{distances},\:\mathrm{et} \\ $$$$\mathrm{en}\:\mathrm{particulier}\:\mathrm{elle}\:\mathrm{transforme}\:\mathrm{le} \\ $$$$\mathrm{triangle}\:\mathrm{ABE}\:\mathrm{en}\:\mathrm{triangle}\:\mathrm{DGC}\:\mathrm{et} \\ $$$$\mathrm{reciproquement},\:\mathrm{comme}\:\mathrm{la}\:\mathrm{symetrie} \\ $$$$\mathrm{est}\:\mathrm{involutive},\:\mathrm{elle}\:\mathrm{transforme}\:\mathrm{le} \\ $$$$\mathrm{triangle}\:\mathrm{DGC}\:\mathrm{en}\:\mathrm{triangle}\:\mathrm{ABE}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{3}. \\ $$$$\mathrm{De}\:\mathrm{la}\:\mathrm{remarque}\:\left(\mathrm{1}\right),\:\mathrm{il}\:\mathrm{vient}\:\mathrm{que}\:: \\ $$$$\widehat {\mathrm{AEB}}\:=\:\widehat {\mathrm{CGD}}\:=\:\mathrm{90}°. \\ $$$$\mathrm{En}\:\mathrm{faisant}\:\mathrm{pivoter}\:\mathrm{la}\:\mathrm{figure}\:\mathrm{de}\:\mathrm{90}°,\:\mathrm{la} \\ $$$$\mathrm{logueur}\:\mathrm{jouant}\:\mathrm{le}\:\mathrm{role}\:\mathrm{de}\:\mathrm{la}\:\mathrm{largeur}\:\mathrm{et} \\ $$$$\mathrm{la}\:\mathrm{largeur}\:\mathrm{jouant}\:\mathrm{le}\:\mathrm{role}\:\mathrm{de}\:\mathrm{la}\:\mathrm{longueur}, \\ $$$$\mathrm{on}\:\mathrm{deduit}\:\mathrm{avec}\:\mathrm{le}\:\mathrm{meme}\:\mathrm{raisonnement} \\ $$$$\widehat {\mathrm{GHE}}\:=\:\widehat {\mathrm{EFG}}\:=\:\mathrm{90}°. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{En}\:\mathrm{resume},\:\mathrm{le}\:\mathrm{quadrilatere}\:\mathrm{EFGH}\: \\ $$$$\mathrm{a}\:\mathrm{quatre}\:\mathrm{angles}\:\mathrm{droits},\:\mathrm{c}'\mathrm{est}\:\mathrm{donc}\:\mathrm{un} \\ $$$$\mathrm{rectangle}.\:\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$\mathrm{Mais}\:\mathrm{comme}\:\mathrm{la}\:\mathrm{symetrie}\:\mathrm{d}'\mathrm{axe}\:\Delta\:\mathrm{est} \\ $$$$\mathrm{une}\:\mathrm{isometrie},\:\mathrm{elle}\:\mathrm{conserve}\:\:\mathrm{les} \\ $$$$\mathrm{distances}\:\mathrm{et}\:\mathrm{donc}\:: \\ $$$$\mathrm{FE}\:=\:\mathrm{FG}\:\mathrm{et}\:\mathrm{HG}\:=\:\mathrm{HE}\:\left(\mathrm{4}\right) \\ $$$$\mathrm{De}\:\left(\mathrm{3}\right)\:\mathrm{et}\:\left(\mathrm{4}\right),\:\mathrm{il}\:\mathrm{vient}\:\mathrm{que}\:\mathrm{EFGH} \\ $$$$\mathrm{est}\:\mathrm{un}\:\mathrm{carre}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{4}. \\ $$$$\mathrm{Pythagore}\:\mathrm{help}\:\mathrm{me}\:! \\ $$$$\bullet\:\mathrm{AE}^{\mathrm{2}} +\mathrm{EB}^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{AB}^{\mathrm{2}} \:=\:{a}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{2AE}^{\mathrm{2}} \:=\:{a}^{\mathrm{2}} \:\Rightarrow\:\mathrm{AE}\:=\:\frac{{a}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\:\:\:\left(\mathrm{5}\right) \\ $$$$\bullet\:\mathrm{AH}^{\mathrm{2}} +\mathrm{HD}^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{AD}^{\mathrm{2}} \:=\:{b}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{2AH}^{\mathrm{2}} \:=\:{b}^{\mathrm{2}} \:\Rightarrow\:\mathrm{AH}\:=\:\frac{{b}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\:\:\:\left(\mathrm{6}\right) \\ $$$$\mathrm{Soit}\:{c}\:\mathrm{le}\:\mathrm{cote}\:\mathrm{du}\:\mathrm{carre}.\:\mathrm{Avec}\:\left(\mathrm{5}\right)\:\mathrm{et}\:\left(\mathrm{6}\right)\:: \\ $$$${c}\:=\:\mathrm{AE}−\mathrm{AH}\:=\:\frac{{a}−{b}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Remarque}\::\:\mathrm{si}\:\mathrm{le}\:\mathrm{rectangle}\:\mathrm{initial} \\ $$$$\mathrm{devient}\:\mathrm{carre},\:\mathrm{c}'\mathrm{est}−\mathrm{a}−\mathrm{dire}\:\mathrm{si}\:{a}\:=\:{b} \\ $$$$\mathrm{alors}\:{c}\:=\:\mathrm{0}.\:\mathrm{Dans}\:\mathrm{ce}\:\mathrm{cas}\:\mathrm{le}\:\mathrm{carre}\:\mathrm{EFGH} \\ $$$$\mathrm{est}\:\mathrm{reduit}\:\mathrm{a}\:\mathrm{un}\:\mathrm{point}.\:\mathrm{C}'\mathrm{est}\:\mathrm{rigolo}. \\ $$