Question-148151

Question Number 148151 by puissant last updated on 25/Jul/21

Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 25/Jul/21

1 .

{(u_{n})}_{n \in N^{*}} est de type M .

Donc \forall n \in N^{*}, u_{n} = \frac{1}{n} \underset{k = 1}{\sum^{n}} u_{n + k}

alors u_{n} - C = (\frac{1}{n} \underset{k = 1}{\sum^{n}} u_{n + k}) - C

u_{n} - C = \frac{1}{n} \underset{k = 1}{\sum^{n}} u_{n + k} - \frac{1}{n} \underset{k = 1}{\sum^{n}} C

u_{n} - C = \frac{1}{n} \underset{k = 1}{\sum^{n}} (u_{n + k} - C)

et donc la suite {(u_{n} - C)}_{n \in N^{*}} est de type M .

2 .

{(u_{n})}_{n \in N^{*}} est de type M .

Donc \forall n \in N^{*}, u_{n} = \frac{1}{n} \underset{k = 1}{\sum^{n}} u_{n + k}

Si la suite (u_{n}) est croissante alors les

termes u_{n + k} sont tous plus grands que

u_{n} et donc u_{n} = \frac{1}{n} \underset{k = 1}{\sum^{n}} u_{n + k} ⩽ \frac{1}{n} ({n u}_{n})

Soit \forall n \in N^{*}, u_{n} ⩽ u_{n} ce qui est

possible uniquement en cas d^{'} egalite

stricte . Si un seul terme de la somme

etait strictement superieur a u_{n} alors

on aboutirait a la contradiction

u_{n} < u_{n} ce qui est absurde .

En conclusion, toute suite croissante

au sens large de M est constante .

3 .

{(u_{n})}_{n \in N^{*}} est de type M .

Donc \forall n \in N^{*}, u_{n} = \frac{1}{n} \underset{k = 1}{\sum^{n}} u_{n + k} (1)

Si les u_{n} sont de la forme {a n}^{2} + b n + c

(1) : {a n}^{2} + b n + c = \frac{1}{n} \underset{k = 1}{\sum^{n}} (a {(n + k)}^{2} + b (n + k) + c)

{a n}^{2} + b n + c = \frac{1}{n} \underset{k = 1}{\sum^{n}} ({a k}^{2} + k (2 a n + b) + {a n}^{2} + b n + c)

{a n}^{2} + b n + c = \frac{1}{n} \underset{k = 1}{\sum^{n}} ({a k}^{2} + k (2 a n + b)) + {a n}^{2} + b n + c

\Rightarrow \underset{k = 1}{\sum^{n}} ({a k}^{2} + k (2 a n + b)) = 0 (2)

(2) n^{'} est possible que quand a = b = 0 .