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Question-148242




Question Number 148242 by puissant last updated on 26/Jul/21
Answered by Jonathanwaweh last updated on 26/Jul/21
soit  Aappartenant a ε on a got(A)=g(A^→ +V^→ )                                                      =g(A)^→ +g(V)^→             de meme tog(A)=V^→ +g(A)^→   or  got=tog alors g(A)+g(V)=V+g(A)  d^. ou g(V)=V    .supposons  maintenant que  g(V)=V et montrons que got=tog  soit A∈ε on a got(A)=g(A^→ +V^→ )                                             =g(A)+g(V)  or g(V)=V donc  got(A)=g(A)+V                                                 =tog(A)  d ou got=tog.          par  jonathan....
$${soit}\:\:{Aappartenant}\:{a}\:\varepsilon\:{on}\:{a}\:{got}\left({A}\right)={g}\left(\overset{\rightarrow} {{A}}+\overset{\rightarrow} {{V}}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={g}\left({A}\overset{\rightarrow} {\right)}+{g}\left({V}\overset{\rightarrow} {\right)} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{de}\:{meme}\:{tog}\left({A}\right)=\overset{\rightarrow} {{V}}+{g}\left({A}\overset{\rightarrow} {\right)} \\ $$$${or}\:\:{got}={tog}\:{alors}\:{g}\left({A}\right)+{g}\left({V}\right)={V}+{g}\left({A}\right) \\ $$$${d}^{.} {ou}\:{g}\left({V}\right)={V} \\ $$$$ \\ $$$$.{supposons}\:\:{maintenant}\:{que}\:\:{g}\left({V}\right)={V}\:{et}\:{montrons}\:{que}\:{got}={tog} \\ $$$${soit}\:{A}\in\varepsilon\:{on}\:{a}\:{got}\left({A}\right)={g}\left(\overset{\rightarrow} {{A}}+\overset{\rightarrow} {{V}}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={g}\left({A}\right)+{g}\left({V}\right) \\ $$$${or}\:{g}\left({V}\right)={V}\:{donc}\:\:{got}\left({A}\right)={g}\left({A}\right)+{V} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={tog}\left({A}\right) \\ $$$${d}\:{ou}\:{got}={tog}. \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:{par}\:\:{jonathan}…. \\ $$$$ \\ $$
Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 26/Jul/21
Pour tout vecteur u^→ ∈ε, l′expression  de t_v^→   est simplement t_v^→  (u^→ ) = u^→ +v^→   En outre, g est une application affine  et son endomorphisme associe  respecte  donc les combinaisons lineaires :  ∀(a_1 ,a_2 )∈R^2 , ∀(u_1 ^→ ,u_2 ^→ )∈ε^2   g^→ (a_1 u_1 ^→ +a_2 u_2 ^→ ) = a_1 g^→ (u_1 ^→ )+a_2 g^→ (u_2 )    On va se servir de ces remarques pour  la suite.    (a)  ∀u^→ ∈ε, t_v^→  og^→ (u^→ ) = g^→ (u^→ )+v^→     (1)  (par definition de la translation)  ∀u^→ ∈ε, g^→ ot_v^→  (u^→ ) = g(u^→ +v^→ ) = g^→ (u^→ )+g^→ (v^→ ) (2)  (par definition de g)  Pour avoir egalite entre (1) et (2),  c′est−a−dire pour avoir  t_v^→  og = got_v^→  , il faut necessairement  que g^→ (v^→ ) = v^→ .   CQFD.    (b)  Reciproque. Par hypothese g^→ (v^→ ) = v^→ .  ∀u^→ ∈ε, t_v^→  og^→ (u^→ ) = g^→ (u^→ )+v^→     (3)  ∀u^→ ∈ε, g^→ ot_v^→  (u^→ ) = g(u^→ +v^→ ) = g^→ (u^→ )+g^→ (v^→ )   = g^→ (u^→ )+v^→   (grace a l′hypothese) (4)  On a egalite parfaite entre (3) et (4).  Et donc g^→ (v^→ ) = v^→  ⇒ t_v^→  og = got_v^→  . CQFD    A partir de (a) et (b), on voit bien que  la proposition est valable dans les  deux sens. C′est une relation  d′equivalence.    On en deduit que toute composition  d′une application affine avec une  translation est egale a sa composition  inverse si, et seulement si, elle laisse  inchange le vecteur de translation.
$$\mathrm{Pour}\:\mathrm{tout}\:\mathrm{vecteur}\:\overset{\rightarrow} {{u}}\in\varepsilon,\:\mathrm{l}'\mathrm{expression} \\ $$$$\mathrm{de}\:{t}_{\overset{\rightarrow} {{v}}} \:\mathrm{est}\:\mathrm{simplement}\:{t}_{\overset{\rightarrow} {{v}}} \left(\overset{\rightarrow} {{u}}\right)\:=\:\overset{\rightarrow} {{u}}+\overset{\rightarrow} {{v}} \\ $$$$\mathrm{En}\:\mathrm{outre},\:{g}\:\mathrm{est}\:\mathrm{une}\:\mathrm{application}\:\mathrm{affine} \\ $$$$\mathrm{et}\:\mathrm{son}\:\mathrm{endomorphisme}\:\mathrm{associe}\:\:\mathrm{respecte} \\ $$$$\mathrm{donc}\:\mathrm{les}\:\mathrm{combinaisons}\:\mathrm{lineaires}\:: \\ $$$$\forall\left({a}_{\mathrm{1}} ,{a}_{\mathrm{2}} \right)\in\mathbb{R}^{\mathrm{2}} ,\:\forall\left(\overset{\rightarrow} {{u}}_{\mathrm{1}} ,\overset{\rightarrow} {{u}}_{\mathrm{2}} \right)\in\varepsilon^{\mathrm{2}} \\ $$$$\overset{\rightarrow} {{g}}\left({a}_{\mathrm{1}} \overset{\rightarrow} {{u}}_{\mathrm{1}} +{a}_{\mathrm{2}} \overset{\rightarrow} {{u}}_{\mathrm{2}} \right)\:=\:{a}_{\mathrm{1}} \overset{\rightarrow} {{g}}\left(\overset{\rightarrow} {{u}}_{\mathrm{1}} \right)+{a}_{\mathrm{2}} \overset{\rightarrow} {{g}}\left({u}_{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{On}\:\mathrm{va}\:\mathrm{se}\:\mathrm{servir}\:\mathrm{de}\:\mathrm{ces}\:\mathrm{remarques}\:\mathrm{pour} \\ $$$$\mathrm{la}\:\mathrm{suite}. \\ $$$$ \\ $$$$\left(\mathrm{a}\right) \\ $$$$\forall\overset{\rightarrow} {{u}}\in\varepsilon,\:{t}_{\overset{\rightarrow} {{v}}} \mathrm{o}\overset{\rightarrow} {{g}}\left(\overset{\rightarrow} {{u}}\right)\:=\:\overset{\rightarrow} {{g}}\left(\overset{\rightarrow} {{u}}\right)+\overset{\rightarrow} {{v}}\:\:\:\:\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{par}\:\mathrm{definition}\:\mathrm{de}\:\mathrm{la}\:\mathrm{translation}\right) \\ $$$$\forall\overset{\rightarrow} {{u}}\in\varepsilon,\:\overset{\rightarrow} {{g}}\mathrm{o}{t}_{\overset{\rightarrow} {{v}}} \left(\overset{\rightarrow} {{u}}\right)\:=\:{g}\left(\overset{\rightarrow} {{u}}+\overset{\rightarrow} {{v}}\right)\:=\:\overset{\rightarrow} {{g}}\left(\overset{\rightarrow} {{u}}\right)+\overset{\rightarrow} {{g}}\left(\overset{\rightarrow} {{v}}\right)\:\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{par}\:\mathrm{definition}\:\mathrm{de}\:{g}\right) \\ $$$$\mathrm{Pour}\:\mathrm{avoir}\:\mathrm{egalite}\:\mathrm{entre}\:\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{et}\:\left(\mathrm{2}\right), \\ $$$$\mathrm{c}'\mathrm{est}−\mathrm{a}−\mathrm{dire}\:\mathrm{pour}\:\mathrm{avoir} \\ $$$${t}_{\overset{\rightarrow} {{v}}} \mathrm{o}{g}\:=\:{g}\mathrm{o}{t}_{\overset{\rightarrow} {{v}}} ,\:\mathrm{il}\:\mathrm{faut}\:\mathrm{necessairement} \\ $$$$\mathrm{que}\:\overset{\rightarrow} {{g}}\left(\overset{\rightarrow} {{v}}\right)\:=\:\overset{\rightarrow} {{v}}.\:\:\:\mathrm{CQFD}. \\ $$$$ \\ $$$$\left(\mathrm{b}\right) \\ $$$$\mathrm{Reciproque}.\:\mathrm{Par}\:\mathrm{hypothese}\:\overset{\rightarrow} {{g}}\left(\overset{\rightarrow} {{v}}\right)\:=\:\overset{\rightarrow} {{v}}. \\ $$$$\forall\overset{\rightarrow} {{u}}\in\varepsilon,\:{t}_{\overset{\rightarrow} {{v}}} \mathrm{o}\overset{\rightarrow} {{g}}\left(\overset{\rightarrow} {{u}}\right)\:=\:\overset{\rightarrow} {{g}}\left(\overset{\rightarrow} {{u}}\right)+\overset{\rightarrow} {{v}}\:\:\:\:\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$\forall\overset{\rightarrow} {{u}}\in\varepsilon,\:\overset{\rightarrow} {{g}}\mathrm{o}{t}_{\overset{\rightarrow} {{v}}} \left(\overset{\rightarrow} {{u}}\right)\:=\:{g}\left(\overset{\rightarrow} {{u}}+\overset{\rightarrow} {{v}}\right)\:=\:\overset{\rightarrow} {{g}}\left(\overset{\rightarrow} {{u}}\right)+\overset{\rightarrow} {{g}}\left(\overset{\rightarrow} {{v}}\right) \\ $$$$\:=\:\overset{\rightarrow} {{g}}\left(\overset{\rightarrow} {{u}}\right)+\overset{\rightarrow} {{v}}\:\:\left(\mathrm{grace}\:\mathrm{a}\:\mathrm{l}'\mathrm{hypothese}\right)\:\left(\mathrm{4}\right) \\ $$$$\mathrm{On}\:\mathrm{a}\:\mathrm{egalite}\:\mathrm{parfaite}\:\mathrm{entre}\:\left(\mathrm{3}\right)\:\mathrm{et}\:\left(\mathrm{4}\right). \\ $$$$\mathrm{Et}\:\mathrm{donc}\:\overset{\rightarrow} {{g}}\left(\overset{\rightarrow} {{v}}\right)\:=\:\overset{\rightarrow} {{v}}\:\Rightarrow\:{t}_{\overset{\rightarrow} {{v}}} \mathrm{o}{g}\:=\:{got}_{\overset{\rightarrow} {{v}}} .\:\mathrm{CQFD} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{A}\:\mathrm{partir}\:\mathrm{de}\:\left(\mathrm{a}\right)\:\mathrm{et}\:\left(\mathrm{b}\right),\:\mathrm{on}\:\mathrm{voit}\:\mathrm{bien}\:\mathrm{que} \\ $$$$\mathrm{la}\:\mathrm{proposition}\:\mathrm{est}\:\mathrm{valable}\:\mathrm{dans}\:\mathrm{les} \\ $$$$\mathrm{deux}\:\mathrm{sens}.\:\mathrm{C}'\mathrm{est}\:\mathrm{une}\:\mathrm{relation} \\ $$$$\mathrm{d}'\mathrm{equivalence}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{On}\:\mathrm{en}\:\mathrm{deduit}\:\mathrm{que}\:\mathrm{toute}\:\mathrm{composition} \\ $$$$\mathrm{d}'\mathrm{une}\:\mathrm{application}\:\mathrm{affine}\:\mathrm{avec}\:\mathrm{une} \\ $$$$\mathrm{translation}\:\mathrm{est}\:\mathrm{egale}\:\mathrm{a}\:\mathrm{sa}\:\mathrm{composition} \\ $$$$\mathrm{inverse}\:\mathrm{si},\:\mathrm{et}\:\mathrm{seulement}\:\mathrm{si},\:\mathrm{elle}\:\mathrm{laisse} \\ $$$$\mathrm{inchange}\:\mathrm{le}\:\mathrm{vecteur}\:\mathrm{de}\:\mathrm{translation}. \\ $$

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