Question Number 148242 by puissant last updated on 26/Jul/21
Answered by Jonathanwaweh last updated on 26/Jul/21
$${soit}\:\:{Aappartenant}\:{a}\:\varepsilon\:{on}\:{a}\:{got}\left({A}\right)={g}\left(\overset{\rightarrow} {{A}}+\overset{\rightarrow} {{V}}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={g}\left({A}\overset{\rightarrow} {\right)}+{g}\left({V}\overset{\rightarrow} {\right)} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{de}\:{meme}\:{tog}\left({A}\right)=\overset{\rightarrow} {{V}}+{g}\left({A}\overset{\rightarrow} {\right)} \\ $$$${or}\:\:{got}={tog}\:{alors}\:{g}\left({A}\right)+{g}\left({V}\right)={V}+{g}\left({A}\right) \\ $$$${d}^{.} {ou}\:{g}\left({V}\right)={V} \\ $$$$ \\ $$$$.{supposons}\:\:{maintenant}\:{que}\:\:{g}\left({V}\right)={V}\:{et}\:{montrons}\:{que}\:{got}={tog} \\ $$$${soit}\:{A}\in\varepsilon\:{on}\:{a}\:{got}\left({A}\right)={g}\left(\overset{\rightarrow} {{A}}+\overset{\rightarrow} {{V}}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={g}\left({A}\right)+{g}\left({V}\right) \\ $$$${or}\:{g}\left({V}\right)={V}\:{donc}\:\:{got}\left({A}\right)={g}\left({A}\right)+{V} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={tog}\left({A}\right) \\ $$$${d}\:{ou}\:{got}={tog}. \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:{par}\:\:{jonathan}…. \\ $$$$ \\ $$
Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 26/Jul/21
$$\mathrm{Pour}\:\mathrm{tout}\:\mathrm{vecteur}\:\overset{\rightarrow} {{u}}\in\varepsilon,\:\mathrm{l}'\mathrm{expression} \\ $$$$\mathrm{de}\:{t}_{\overset{\rightarrow} {{v}}} \:\mathrm{est}\:\mathrm{simplement}\:{t}_{\overset{\rightarrow} {{v}}} \left(\overset{\rightarrow} {{u}}\right)\:=\:\overset{\rightarrow} {{u}}+\overset{\rightarrow} {{v}} \\ $$$$\mathrm{En}\:\mathrm{outre},\:{g}\:\mathrm{est}\:\mathrm{une}\:\mathrm{application}\:\mathrm{affine} \\ $$$$\mathrm{et}\:\mathrm{son}\:\mathrm{endomorphisme}\:\mathrm{associe}\:\:\mathrm{respecte} \\ $$$$\mathrm{donc}\:\mathrm{les}\:\mathrm{combinaisons}\:\mathrm{lineaires}\:: \\ $$$$\forall\left({a}_{\mathrm{1}} ,{a}_{\mathrm{2}} \right)\in\mathbb{R}^{\mathrm{2}} ,\:\forall\left(\overset{\rightarrow} {{u}}_{\mathrm{1}} ,\overset{\rightarrow} {{u}}_{\mathrm{2}} \right)\in\varepsilon^{\mathrm{2}} \\ $$$$\overset{\rightarrow} {{g}}\left({a}_{\mathrm{1}} \overset{\rightarrow} {{u}}_{\mathrm{1}} +{a}_{\mathrm{2}} \overset{\rightarrow} {{u}}_{\mathrm{2}} \right)\:=\:{a}_{\mathrm{1}} \overset{\rightarrow} {{g}}\left(\overset{\rightarrow} {{u}}_{\mathrm{1}} \right)+{a}_{\mathrm{2}} \overset{\rightarrow} {{g}}\left({u}_{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{On}\:\mathrm{va}\:\mathrm{se}\:\mathrm{servir}\:\mathrm{de}\:\mathrm{ces}\:\mathrm{remarques}\:\mathrm{pour} \\ $$$$\mathrm{la}\:\mathrm{suite}. \\ $$$$ \\ $$$$\left(\mathrm{a}\right) \\ $$$$\forall\overset{\rightarrow} {{u}}\in\varepsilon,\:{t}_{\overset{\rightarrow} {{v}}} \mathrm{o}\overset{\rightarrow} {{g}}\left(\overset{\rightarrow} {{u}}\right)\:=\:\overset{\rightarrow} {{g}}\left(\overset{\rightarrow} {{u}}\right)+\overset{\rightarrow} {{v}}\:\:\:\:\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{par}\:\mathrm{definition}\:\mathrm{de}\:\mathrm{la}\:\mathrm{translation}\right) \\ $$$$\forall\overset{\rightarrow} {{u}}\in\varepsilon,\:\overset{\rightarrow} {{g}}\mathrm{o}{t}_{\overset{\rightarrow} {{v}}} \left(\overset{\rightarrow} {{u}}\right)\:=\:{g}\left(\overset{\rightarrow} {{u}}+\overset{\rightarrow} {{v}}\right)\:=\:\overset{\rightarrow} {{g}}\left(\overset{\rightarrow} {{u}}\right)+\overset{\rightarrow} {{g}}\left(\overset{\rightarrow} {{v}}\right)\:\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{par}\:\mathrm{definition}\:\mathrm{de}\:{g}\right) \\ $$$$\mathrm{Pour}\:\mathrm{avoir}\:\mathrm{egalite}\:\mathrm{entre}\:\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{et}\:\left(\mathrm{2}\right), \\ $$$$\mathrm{c}'\mathrm{est}−\mathrm{a}−\mathrm{dire}\:\mathrm{pour}\:\mathrm{avoir} \\ $$$${t}_{\overset{\rightarrow} {{v}}} \mathrm{o}{g}\:=\:{g}\mathrm{o}{t}_{\overset{\rightarrow} {{v}}} ,\:\mathrm{il}\:\mathrm{faut}\:\mathrm{necessairement} \\ $$$$\mathrm{que}\:\overset{\rightarrow} {{g}}\left(\overset{\rightarrow} {{v}}\right)\:=\:\overset{\rightarrow} {{v}}.\:\:\:\mathrm{CQFD}. \\ $$$$ \\ $$$$\left(\mathrm{b}\right) \\ $$$$\mathrm{Reciproque}.\:\mathrm{Par}\:\mathrm{hypothese}\:\overset{\rightarrow} {{g}}\left(\overset{\rightarrow} {{v}}\right)\:=\:\overset{\rightarrow} {{v}}. \\ $$$$\forall\overset{\rightarrow} {{u}}\in\varepsilon,\:{t}_{\overset{\rightarrow} {{v}}} \mathrm{o}\overset{\rightarrow} {{g}}\left(\overset{\rightarrow} {{u}}\right)\:=\:\overset{\rightarrow} {{g}}\left(\overset{\rightarrow} {{u}}\right)+\overset{\rightarrow} {{v}}\:\:\:\:\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$\forall\overset{\rightarrow} {{u}}\in\varepsilon,\:\overset{\rightarrow} {{g}}\mathrm{o}{t}_{\overset{\rightarrow} {{v}}} \left(\overset{\rightarrow} {{u}}\right)\:=\:{g}\left(\overset{\rightarrow} {{u}}+\overset{\rightarrow} {{v}}\right)\:=\:\overset{\rightarrow} {{g}}\left(\overset{\rightarrow} {{u}}\right)+\overset{\rightarrow} {{g}}\left(\overset{\rightarrow} {{v}}\right) \\ $$$$\:=\:\overset{\rightarrow} {{g}}\left(\overset{\rightarrow} {{u}}\right)+\overset{\rightarrow} {{v}}\:\:\left(\mathrm{grace}\:\mathrm{a}\:\mathrm{l}'\mathrm{hypothese}\right)\:\left(\mathrm{4}\right) \\ $$$$\mathrm{On}\:\mathrm{a}\:\mathrm{egalite}\:\mathrm{parfaite}\:\mathrm{entre}\:\left(\mathrm{3}\right)\:\mathrm{et}\:\left(\mathrm{4}\right). \\ $$$$\mathrm{Et}\:\mathrm{donc}\:\overset{\rightarrow} {{g}}\left(\overset{\rightarrow} {{v}}\right)\:=\:\overset{\rightarrow} {{v}}\:\Rightarrow\:{t}_{\overset{\rightarrow} {{v}}} \mathrm{o}{g}\:=\:{got}_{\overset{\rightarrow} {{v}}} .\:\mathrm{CQFD} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{A}\:\mathrm{partir}\:\mathrm{de}\:\left(\mathrm{a}\right)\:\mathrm{et}\:\left(\mathrm{b}\right),\:\mathrm{on}\:\mathrm{voit}\:\mathrm{bien}\:\mathrm{que} \\ $$$$\mathrm{la}\:\mathrm{proposition}\:\mathrm{est}\:\mathrm{valable}\:\mathrm{dans}\:\mathrm{les} \\ $$$$\mathrm{deux}\:\mathrm{sens}.\:\mathrm{C}'\mathrm{est}\:\mathrm{une}\:\mathrm{relation} \\ $$$$\mathrm{d}'\mathrm{equivalence}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{On}\:\mathrm{en}\:\mathrm{deduit}\:\mathrm{que}\:\mathrm{toute}\:\mathrm{composition} \\ $$$$\mathrm{d}'\mathrm{une}\:\mathrm{application}\:\mathrm{affine}\:\mathrm{avec}\:\mathrm{une} \\ $$$$\mathrm{translation}\:\mathrm{est}\:\mathrm{egale}\:\mathrm{a}\:\mathrm{sa}\:\mathrm{composition} \\ $$$$\mathrm{inverse}\:\mathrm{si},\:\mathrm{et}\:\mathrm{seulement}\:\mathrm{si},\:\mathrm{elle}\:\mathrm{laisse} \\ $$$$\mathrm{inchange}\:\mathrm{le}\:\mathrm{vecteur}\:\mathrm{de}\:\mathrm{translation}. \\ $$