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Question-148398

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Question Number 148398 by puissant last updated on 27/Jul/21
Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 27/Jul/21
1. C_1 = 7l et C_2 = 4l • Etape 1. Je remplis C_1 a 7l et je transvase C_1 dans C_2 . On a alors C_1 = 3l etC_2 = 4l. • Etape 2 Je vide C_2 et je transvase C_1 dans C_2 . On a alors C_1 vide et C_2 = 3l. • Etape 3 Je remplis C_1 a 7l et je transvase C_1 dans C_2 pour que C_2 soit a 4l. On a alors C_1 = 6l etC_2 = 4l. • Etape 4 Je vide C_2 et je transvase C_1 dans C_(2.) On a alors C_1 = 2l et C_2 = 4l. • Etape 5 Je vide C_2 et je transvase C_1 dans C_2 . On a alors C_1 vide et C_2 = 2l. • Etape 6 Je remplis C_1 a 7l et je transvase C_1 dans C_2 . On a alors C_1 = 5l etC_2 = 4l. • Etape 7 Je vide C_2 et je transvase C_1 dans C_2 . On a C_1 = 1l et C_2 = 4l. Je remplis alors la citerne avec le contenu de C_1 et le tour est joue. 2. C_1 = 6l et C_2 = 4l Impossible avec C_1 et C_2 d′isoler 1l pour remplir la citerne. Car en soustrayant les contenus de C_1 et C_2 , je ne peux avoir que des multiples de 2l (2l, 4l ou 6l). 3. Cas general avec C_1 et C_2 . On est sur de remplir la citerne avec 1l quand PGCD(C_1 ,C_2 ) = 1. Dans le cas numero 1, on avait bien PGCD(7,4) = 1 et ca marchait. Dans le cas numero 2, on avait PGCD(6,4) = 2 et on savait d′avance que c′etait un echec. En resume, ca marche quand quand PGCD(C_1 ,C_2 ) = 1, c′est−a−dire quand C_1 et C_2 sont premiers entre−eux. Par exemple, on sait d′avance que c′est possible pour C_1 = 231l et C_2 = 46l car PGCD(231,46) = 1. C′etait un probleme de seaux mais sur ce coup−la on n′est pas restes sots.
$$\mathrm{1}.\:\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \:=\:\mathrm{7}{l}\:\mathrm{et}\:\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{4}{l} \\ $$$$ \\ $$$$\bullet\:\mathrm{Etape}\:\mathrm{1}. \\ $$$$\mathrm{Je}\:\mathrm{remplis}\:\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{a}\:\mathrm{7}{l}\:\mathrm{et}\:\mathrm{je}\:\mathrm{transvase}\:\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \: \\ $$$$\mathrm{dans}\:\mathrm{C}_{\mathrm{2}} .\:\mathrm{On}\:\mathrm{a}\:\mathrm{alors}\:\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \:=\:\mathrm{3}{l}\:\mathrm{etC}_{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{4}{l}. \\ $$$$ \\ $$$$\bullet\:\mathrm{Etape}\:\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{Je}\:\mathrm{vide}\:\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \:\mathrm{et}\:\mathrm{je}\:\mathrm{transvase}\:\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{dans}\:\mathrm{C}_{\mathrm{2}} . \\ $$$$\mathrm{On}\:\mathrm{a}\:\mathrm{alors}\:\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{vide}\:\mathrm{et}\:\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{3}{l}. \\ $$$$ \\ $$$$\bullet\:\mathrm{Etape}\:\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{Je}\:\mathrm{remplis}\:\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{a}\:\mathrm{7}{l}\:\mathrm{et}\:\mathrm{je}\:\mathrm{transvase}\:\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{dans}\:\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \:\mathrm{pour}\:\mathrm{que}\:\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \:\mathrm{soit}\:\mathrm{a}\:\mathrm{4}{l}.\:\mathrm{On}\:\mathrm{a} \\ $$$$\mathrm{alors}\:\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \:=\:\mathrm{6}{l}\:\mathrm{etC}_{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{4}{l}. \\ $$$$ \\ $$$$\bullet\:\mathrm{Etape}\:\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{Je}\:\mathrm{vide}\:\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \:\mathrm{et}\:\mathrm{je}\:\mathrm{transvase}\:\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{dans}\:\mathrm{C}_{\mathrm{2}.} \\ $$$$\mathrm{On}\:\mathrm{a}\:\mathrm{alors}\:\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \:=\:\mathrm{2}{l}\:\mathrm{et}\:\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{4}{l}. \\ $$$$ \\ $$$$\bullet\:\mathrm{Etape}\:\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{Je}\:\mathrm{vide}\:\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \:\mathrm{et}\:\mathrm{je}\:\mathrm{transvase}\:\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{dans}\:\mathrm{C}_{\mathrm{2}} . \\ $$$$\mathrm{On}\:\mathrm{a}\:\mathrm{alors}\:\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{vide}\:\mathrm{et}\:\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{2}{l}. \\ $$$$ \\ $$$$\bullet\:\mathrm{Etape}\:\mathrm{6} \\ $$$$\mathrm{Je}\:\mathrm{remplis}\:\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{a}\:\mathrm{7}{l}\:\mathrm{et}\:\mathrm{je}\:\mathrm{transvase}\:\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{dans}\:\mathrm{C}_{\mathrm{2}} .\:\mathrm{On}\:\mathrm{a}\:\mathrm{alors}\:\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \:=\:\mathrm{5}{l}\:\mathrm{etC}_{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{4}{l}. \\ $$$$ \\ $$$$\bullet\:\mathrm{Etape}\:\mathrm{7} \\ $$$$\mathrm{Je}\:\mathrm{vide}\:\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \:\mathrm{et}\:\mathrm{je}\:\mathrm{transvase}\:\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{dans}\:\mathrm{C}_{\mathrm{2}} . \\ $$$$\mathrm{On}\:\mathrm{a}\:\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \:=\:\mathrm{1}{l}\:\mathrm{et}\:\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{4}{l}.\:\mathrm{Je}\:\mathrm{remplis}\:\mathrm{alors} \\ $$$$\mathrm{la}\:\mathrm{citerne}\:\mathrm{avec}\:\mathrm{le}\:\mathrm{contenu}\:\mathrm{de}\:\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \mathrm{et}\:\mathrm{le} \\ $$$$\mathrm{tour}\:\mathrm{est}\:\mathrm{joue}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{2}.\:\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \:=\:\mathrm{6}{l}\:\mathrm{et}\:\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{4}{l} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Impossible}\:\mathrm{avec}\:\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{et}\:\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \:\mathrm{d}'\mathrm{isoler}\:\mathrm{1}{l} \\ $$$$\mathrm{pour}\:\mathrm{remplir}\:\mathrm{la}\:\mathrm{citerne}.\:\mathrm{Car}\:\mathrm{en} \\ $$$$\mathrm{soustrayant}\:\mathrm{les}\:\mathrm{contenus}\:\mathrm{de}\:\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{et}\:\mathrm{C}_{\mathrm{2}} , \\ $$$$\mathrm{je}\:\mathrm{ne}\:\mathrm{peux}\:\mathrm{avoir}\:\mathrm{que}\:\mathrm{des}\:\mathrm{multiples}\:\mathrm{de} \\ $$$$\mathrm{2}{l}\:\left(\mathrm{2}{l},\:\mathrm{4}{l}\:\mathrm{ou}\:\mathrm{6}{l}\right). \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{3}.\:\mathrm{Cas}\:\mathrm{general}\:\mathrm{avec}\:\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{et}\:\mathrm{C}_{\mathrm{2}} . \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{On}\:\mathrm{est}\:\mathrm{sur}\:\mathrm{de}\:\mathrm{remplir}\:\mathrm{la}\:\mathrm{citerne}\:\mathrm{avec}\:\mathrm{1}{l} \\ $$$$\mathrm{quand}\:\mathrm{PGCD}\left(\mathrm{C}_{\mathrm{1}} ,\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \right)\:=\:\mathrm{1}. \\ $$$$\mathrm{Dans}\:\mathrm{le}\:\mathrm{cas}\:\mathrm{numero}\:\mathrm{1},\:\mathrm{on}\:\mathrm{avait}\:\mathrm{bien} \\ $$$$\mathrm{PGCD}\left(\mathrm{7},\mathrm{4}\right)\:=\:\mathrm{1}\:\mathrm{et}\:\mathrm{ca}\:\mathrm{marchait}. \\ $$$$\mathrm{Dans}\:\mathrm{le}\:\mathrm{cas}\:\mathrm{numero}\:\mathrm{2},\:\mathrm{on}\:\mathrm{avait} \\ $$$$\mathrm{PGCD}\left(\mathrm{6},\mathrm{4}\right)\:=\:\mathrm{2}\:\mathrm{et}\:\mathrm{on}\:\mathrm{savait}\:\mathrm{d}'\mathrm{avance} \\ $$$$\mathrm{que}\:\mathrm{c}'\mathrm{etait}\:\mathrm{un}\:\mathrm{echec}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{En}\:\mathrm{resume},\:\mathrm{ca}\:\mathrm{marche}\:\mathrm{quand} \\ $$$$\mathrm{quand}\:\mathrm{PGCD}\left(\mathrm{C}_{\mathrm{1}} ,\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \right)\:=\:\mathrm{1},\:\mathrm{c}'\mathrm{est}−\mathrm{a}−\mathrm{dire} \\ $$$$\mathrm{quand}\:\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{et}\:\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \:\mathrm{sont}\:\mathrm{premiers} \\ $$$$\mathrm{entre}−\mathrm{eux}.\:\mathrm{Par}\:\mathrm{exemple},\:\mathrm{on}\:\mathrm{sait} \\ $$$$\mathrm{d}'\mathrm{avance}\:\mathrm{que}\:\mathrm{c}'\mathrm{est}\:\mathrm{possible}\:\mathrm{pour} \\ $$$$\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \:=\:\mathrm{231}{l}\:\mathrm{et}\:\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{46}{l}\:\mathrm{car} \\ $$$$\mathrm{PGCD}\left(\mathrm{231},\mathrm{46}\right)\:=\:\mathrm{1}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{C}'\mathrm{etait}\:\mathrm{un}\:\mathrm{probleme}\:\mathrm{de}\:\mathrm{seaux}\:\mathrm{mais} \\ $$$$\mathrm{sur}\:\mathrm{ce}\:\mathrm{coup}−\mathrm{la}\:\mathrm{on}\:\mathrm{n}'\mathrm{est}\:\mathrm{pas}\:\mathrm{restes}\:\mathrm{sots}. \\ $$
Commented by puissant last updated on 27/Jul/21
merci monsieur olaf..
$$\mathrm{merci}\:\mathrm{monsieur}\:\mathrm{olaf}.. \\ $$

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