Question Number 148437 by aliibrahim1 last updated on 28/Jul/21
Answered by mathmax by abdo last updated on 28/Jul/21
$$\mathrm{I}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{dx}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}}}\:\Rightarrow\mathrm{I}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}}−\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}−\mathrm{1}+\mathrm{x}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}}−\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}}}{\mathrm{2x}}\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{lim}_{\xi\rightarrow\mathrm{0}} \int_{\xi} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}}−\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}}}{\mathrm{x}}\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{haveA}_{\xi} =\:\int_{\xi} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}}−\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}}}{\mathrm{x}}\mathrm{dx}\:=\int_{\xi} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}}}{\mathrm{x}}\mathrm{dx}−\int_{\xi} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}}}{\mathrm{x}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\mathrm{H}_{\xi} −\mathrm{K}_{\xi} \\ $$$$\mathrm{H}_{\xi} =_{\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}}=\mathrm{t}\rightarrow\mathrm{1}+\mathrm{x}=\mathrm{t}^{\mathrm{2}} } \:\:\:\:\int_{\sqrt{\mathrm{1}+\xi}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}} \frac{\mathrm{t}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\left(\mathrm{2t}\right)\mathrm{dt} \\ $$$$=\mathrm{2}\int_{\sqrt{\mathrm{1}+\xi}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}} \:\:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}+\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\mathrm{dt}\:=\mathrm{2}\left(\sqrt{\mathrm{2}}−\sqrt{\mathrm{1}+\xi}\right)+\mathrm{2}\int_{\sqrt{\mathrm{1}+\xi}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}} \frac{\mathrm{dt}}{\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\mathrm{2}\left(\sqrt{\mathrm{2}}−\sqrt{\mathrm{1}+\xi}\right)\:+\int_{\sqrt{\mathrm{1}+\xi}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\right)\mathrm{dt} \\ $$$$=\mathrm{2}\left(\sqrt{\mathrm{2}}−\sqrt{\mathrm{1}+\xi}\right)+\left[\mathrm{log}\mid\frac{\mathrm{t}−\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\mid\right]_{\sqrt{\mathrm{1}+\xi}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}} \\ $$$$=\mathrm{2}\left(\sqrt{\mathrm{2}}−\sqrt{\mathrm{1}+\xi}\right)+\mathrm{log}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}}\right)−\mathrm{log}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{1}+\xi}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\xi}+\mathrm{1}}\right) \\ $$$$\mathrm{K}_{\xi} =\int_{\xi} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}}}{\mathrm{x}}\mathrm{dx}\:=_{\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}}=\mathrm{t}\rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{1}−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} } \:\:\int_{\sqrt{\mathrm{1}−\xi}} ^{\mathrm{0}} \:\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\left(−\mathrm{2t}\right)\mathrm{dt} \\ $$$$=\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\sqrt{\mathrm{1}−\xi}} \:\:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt}\:=−\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\sqrt{\mathrm{1}−\xi}} \:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}+\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\mathrm{dt} \\ $$$$=−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}−\xi}−\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\sqrt{\mathrm{1}−\xi}} \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}=−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}−\xi}−\int_{\mathrm{0}} ^{\sqrt{\mathrm{1}−\xi}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\right)\mathrm{dt} \\ $$$$=−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}−\xi}−\left[\mathrm{log}\mid\frac{\mathrm{t}−\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\mid\right]_{\mathrm{0}} ^{\sqrt{\mathrm{1}−\xi}} \\ $$$$=−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}−\xi}−\mathrm{log}\left(\frac{\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{1}−\xi}}{\:\sqrt{\mathrm{1}−\xi}+\mathrm{1}}\right)\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{A}_{\xi} =\mathrm{2}\left(\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{log}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}}\right)−\mathrm{log}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{1}+\xi}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\xi}+\mathrm{1}}\right) \\ $$$$\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}−\xi}+\mathrm{log}\left(\frac{\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{1}−\xi}}{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}−\xi}}\right)\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\mathrm{log}\left(\frac{\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{1}−\xi}}{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}−\xi}}\right)−\mathrm{log}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{1}+\xi}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\xi}+\mathrm{1}}\right) \\ $$$$\mathrm{log}\left(\frac{\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{1}−\xi}}{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}−\xi}}×\frac{\sqrt{\mathrm{1}+\xi}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\xi}−\mathrm{1}}\right) \\ $$$$\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{1}−\xi}\sim\mathrm{1}−\left(\mathrm{1}−\frac{\xi}{\mathrm{2}}\right)=\frac{\xi}{\mathrm{2}} \\ $$$$\sqrt{\mathrm{1}+\xi}−\mathrm{1}\sim\mathrm{1}+\frac{\xi}{\mathrm{2}}−\mathrm{1}=\frac{\xi}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\mathrm{log}\left(….\right)\sim\mathrm{log}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{1}+\xi}+\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}−\xi}}\right)\rightarrow\mathrm{0}\left(\xi\rightarrow\mathrm{0}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{lim}_{\xi\rightarrow\mathrm{0}} \mathrm{A}_{\xi} =\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{2}+\mathrm{log}\left(\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{log}\left(\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{2} \\ $$$$=\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{log}\left(\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{log}\left(\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{I}=\sqrt{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{log}\left(\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{log}\left(\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right) \\ $$
Commented by aliibrahim1 last updated on 29/Jul/21
$${thx}\:{sir} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 28/Jul/21
$$\mathrm{la}\:\mathrm{plus}\:\mathrm{part}\:\mathrm{pense}\:\mathrm{que}\:\mathrm{cette}\:\mathrm{integrale}\:\mathrm{est}\:\mathrm{simple}\:\mathrm{mais}\:\mathrm{en}\:\mathrm{realite}\: \\ $$$$\mathrm{il}\:\mathrm{n}\:\mathrm{est}\:\mathrm{pas}\:\mathrm{simple}… \\ $$
Commented by puissant last updated on 29/Jul/21
$$\mathrm{prof}\:\mathrm{en}\:\mathrm{posant}\:\mathrm{x}=\mathrm{cos}\left(\mathrm{2}\theta\right)\: ext{\c{c}} \mathrm{ca}\:\mathrm{devient} \\ $$$$\mathrm{beaucoup}\:\mathrm{simple}..\:\mathrm{en}\:\mathrm{fait}\:\mathrm{c}'\mathrm{est}\:\mathrm{une} \\ $$$$\mathrm{autre}\:\mathrm{methode}… \\ $$