Question Number 148540 by Jonathanwaweh last updated on 29/Jul/21
Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 29/Jul/21
$$\mathrm{Formule}\:\mathrm{d}'\mathrm{Al}−\mathrm{Kashi}\:\left(\mathrm{generalisation}\right. \\ $$$$\mathrm{de}\:\mathrm{Pythagore}\:\mathrm{dans}\:\mathrm{un}\:\mathrm{triangle} \\ $$$$\left.\mathrm{quelconque}\right)\:: \\ $$$${c}^{\mathrm{2}} \:=\:{a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{ab}\mathrm{cos}\alpha \\ $$$$\Rightarrow\:\left({a}−{b}\mathrm{cos}\alpha\right)^{\mathrm{2}} −{b}^{\mathrm{2}} \mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \alpha+{b}^{\mathrm{2}} \:=\:{c}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\left({a}−{b}\mathrm{cos}\alpha\right)^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \alpha\:=\:{c}^{\mathrm{2}} \\ $$$${a}−{b}\mathrm{cos}\alpha\:=\:\pm\sqrt{{c}^{\mathrm{2}} −{b}^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \alpha} \\ $$$$\mathrm{On}\:\mathrm{verifie}\:\mathrm{que}\:\mathrm{le}\:\mathrm{bon}\:\mathrm{signe}\:\mathrm{est}\:+\:\mathrm{avec} \\ $$$$\mathrm{une}\:\mathrm{valeur}\:\mathrm{particuliere},\:\alpha\:=\:\frac{\pi}{\mathrm{2}}\:\mathrm{par} \\ $$$$\mathrm{exemple}. \\ $$$${a}−{b}\mathrm{cos}\alpha\:=\:\sqrt{{c}^{\mathrm{2}} −{b}^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \alpha} \\ $$$$ \\ $$$${a}\:=\:{b}\mathrm{cos}\alpha+\sqrt{{c}^{\mathrm{2}} −{b}^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \alpha} \\ $$$$\mathrm{La}\:\mathrm{bonne}\:\mathrm{reponse}\:\mathrm{est}\:\left(\mathrm{a}\right). \\ $$