Question Number 149385 by liberty last updated on 05/Aug/21
Answered by Ar Brandon last updated on 05/Aug/21
$$\alpha+\frac{\mathrm{1}}{\alpha}=\mathrm{3}\Rightarrow\alpha^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\alpha+\mathrm{1}=\mathrm{0}\Rightarrow\alpha=\frac{\mathrm{3}\pm\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\sqrt{\mathrm{tan}{x}}=\frac{\mathrm{3}\pm\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}\Rightarrow\mathrm{tan}{x}=\frac{\mathrm{14}\pm\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{tan}^{\mathrm{3}} {x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}^{\mathrm{3}} {x}}=\left(\frac{\mathrm{14}\pm\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{4}}\right)^{\mathrm{3}} +\left(\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{14}\pm\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{5}}}\right)^{\mathrm{3}} \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 05/Aug/21
$$\sqrt{\mathrm{tan}\:\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{tan}\:\mathrm{x}}}=\mathrm{3};\:\mathrm{tan}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}}=? \\ $$$$\left(\sqrt{\mathrm{tan}\:\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{tan}\:\mathrm{x}}}=\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{tan}\:\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\:\mathrm{tan}\:\mathrm{x}}=\mathrm{7} \\ $$$$\left(\mathrm{tan}\:\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\:\mathrm{tan}\:\mathrm{x}}=\mathrm{7}\right)^{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{tan}^{\mathrm{3}} \:\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\:\mathrm{tan}^{\mathrm{3}} \:\mathrm{x}}+\mathrm{3}\left(\mathrm{tan}\:\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\:\mathrm{tan}\:\mathrm{x}}\right)=\mathrm{343} \\ $$$$\mathrm{tan}^{\mathrm{3}} \:\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\:\mathrm{tan}^{\mathrm{3}} \:\mathrm{x}}+\mathrm{3}\left(\mathrm{7}\right)=\mathrm{343} \\ $$$$\mathrm{tan}^{\mathrm{3}} \:\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\:\mathrm{tan}^{\mathrm{3}} \:\mathrm{x}}=\mathrm{322} \\ $$$$ \\ $$
Answered by liberty last updated on 05/Aug/21
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 05/Aug/21
$$\sqrt{\mathrm{tan}\:\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{tan}\:\mathrm{x}}}=\mathrm{3};\:\mathrm{tan}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}}=? \\ $$$$\left(\sqrt{\mathrm{tan}\:\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{tan}\:\mathrm{x}}}=\mathrm{3}\right)^{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{tan}^{\mathrm{3}/\mathrm{2}} \mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}^{\mathrm{3}/\mathrm{2}} \mathrm{x}}+\mathrm{3}\left(\sqrt{\mathrm{tan}\:\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{tan}\:\mathrm{x}}}\right)=\mathrm{27} \\ $$$$\mathrm{tan}^{\mathrm{3}/\mathrm{2}} \mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}^{\mathrm{3}/\mathrm{2}} \mathrm{x}}+\mathrm{3}\left(\mathrm{3}\right)=\mathrm{27} \\ $$$$\mathrm{tan}^{\mathrm{3}/\mathrm{2}} \mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}^{\mathrm{3}/\mathrm{2}} \mathrm{x}}+\mathrm{3}\left(\mathrm{3}\right)=\mathrm{27} \\ $$$$\mathrm{tan}^{\mathrm{3}/\mathrm{2}} \mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}^{\mathrm{3}/\mathrm{2}} \mathrm{x}}=\mathrm{18} \\ $$$$\left(\mathrm{tan}^{\mathrm{3}/\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}^{\mathrm{3}/\mathrm{2}} }=\mathrm{18}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{tan}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}}=\mathrm{324}−\mathrm{2}=\mathrm{322} \\ $$