Question Number 149400 by mathdanisur last updated on 05/Aug/21
Answered by liberty last updated on 05/Aug/21
$$\mathrm{let}\:\mathrm{tan}\:\mathrm{2}=\mathrm{x}\:\begin{cases}{\mathrm{sin}\:\mathrm{2}=\frac{\mathrm{x}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}}\\{\mathrm{cos}\:\mathrm{2}=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{6}=\mathrm{y}\Rightarrow\mathrm{2cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{3}−\mathrm{1}=\mathrm{y} \\ $$$$\mathrm{cos}\:\mathrm{3}=\sqrt{\frac{\mathrm{y}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\:\wedge\:\mathrm{1}−\mathrm{2sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{3}=\mathrm{y} \\ $$$$\mathrm{sin}\:\mathrm{3}=\sqrt{\frac{\mathrm{1}−\mathrm{y}}{\mathrm{2}}} \\ $$$$\mathrm{sin}\:\mathrm{5}=\mathrm{sin}\:\mathrm{3}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{2}\:+\mathrm{cos}\:\mathrm{3}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{2} \\ $$$$=\:\sqrt{\frac{\mathrm{1}−\mathrm{y}}{\mathrm{2}}}\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}\:+\:\sqrt{\frac{\mathrm{1}+\mathrm{y}}{\mathrm{2}}}\:\frac{\mathrm{x}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}} \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{y}}+\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{y}}}{\:\sqrt{\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}} \\ $$$$\mathrm{arcsin}\:\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{5}\right)+\mathrm{arccos}\:\left(\mathrm{cos}\:\mathrm{6}\right)−\mathrm{arctan}\:\left(\mathrm{tan}\:\mathrm{2}\right)= \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{y}}+\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{y}}}{\:\sqrt{\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}}+\mathrm{y}−\mathrm{x} \\ $$$$\mathrm{x}=−\mathrm{2}.\mathrm{18504} \\ $$$$\mathrm{y}=\mathrm{0}.\mathrm{96017} \\ $$$$ \\ $$
Commented by mathdanisur last updated on 05/Aug/21
$${Thank}\:{You}\:{Ser} \\ $$
Answered by dumitrel last updated on 05/Aug/21
$${arcsin}\left({sin}\mathrm{5}\right)={arcsin}\left(−{sin}\left(−\mathrm{5}\right)\right)=−{arcsin}\left({sin}\left(−\mathrm{5}\right)\right)=−{arcsin}\left({sin}\left(\mathrm{2}\pi−\mathrm{5}\right)\right)=−\left(\mathrm{2}\pi−\mathrm{5}\right)=\mathrm{5}−\mathrm{2}\pi \\ $$$${arccos}\left({cos}\mathrm{6}\right)={arccos}\left({cos}\left(−\mathrm{6}\right)\right)={arccos}\left({cos}\left(\mathrm{2}\pi−\mathrm{6}\right)\right)=\mathrm{2}\pi−\mathrm{6} \\ $$$${arctg}\left({tg}\mathrm{2}\right)=−{arctg}\left({tg}\left(\pi−\mathrm{2}\right)\right)=−\left(\pi−\mathrm{2}\right)=\mathrm{2}−\pi \\ $$$$\mathrm{5}−\mathrm{2}\pi+\mathrm{2}\pi−\mathrm{6}+\mathrm{2}−\pi=\mathrm{1}−\pi \\ $$
Commented by mathdanisur last updated on 05/Aug/21
$${Ser},\:{Thank}\:{You} \\ $$
Commented by liberty last updated on 05/Aug/21
$$\mathrm{false} \\ $$
Commented by liberty last updated on 05/Aug/21
Answered by MJS_new last updated on 05/Aug/21
$$\mathrm{arcsin}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{5}\:=\mathrm{5}−\mathrm{2}\pi \\ $$$$\mathrm{arccos}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{6}\:=\mathrm{2}\pi−\mathrm{6} \\ $$$$\mathrm{arctan}\:\mathrm{tan}\:\mathrm{2}\:=\mathrm{2}−\pi \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{answer}\:\mathrm{is}\:\pi−\mathrm{3} \\ $$
Commented by mathdanisur last updated on 06/Aug/21
$$\mathrm{Thankyou}\:\boldsymbol{\mathrm{Ser}} \\ $$