Question Number 150567 by DELETED last updated on 13/Aug/21
Answered by DELETED last updated on 13/Aug/21
$$\left.\mathrm{1}\right).\:\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\:\frac{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}}{\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:=\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\:\frac{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} /\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}/\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} /\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}/\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}/\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\:\:\:\:=\:\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\:\frac{\mathrm{3}−\mathrm{4}/\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}+\mathrm{1}/\mathrm{x}+\mathrm{1}/\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:=\frac{\mathrm{3}−\mathrm{4}/\infty^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}+\mathrm{1}/\infty+\mathrm{1}/\infty^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\:\:=\frac{\mathrm{3}−\mathrm{0}}{\mathrm{2}+\mathrm{0}+\mathrm{0}}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\:// \\ $$
Answered by DELETED last updated on 13/Aug/21
$$\left.\mathrm{2}\right).\:\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\:\frac{\mathrm{4x}^{\mathrm{5}} +\mathrm{6x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}}{\mathrm{x}^{\mathrm{5}} +\mathrm{7x}+\mathrm{3}}=\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\:\frac{\frac{\mathrm{4x}^{\mathrm{5}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{5}} }+\frac{\mathrm{6x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{5}} }\:−\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{x}^{\mathrm{5}} }}{\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{5}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{5}} }\:+\:\frac{\mathrm{7x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{5}} }\:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}^{\mathrm{5}} }} \\ $$$$\:\:\:\:=\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{4}+\frac{\mathrm{6}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{x}^{\mathrm{5}} }}{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} }+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}^{\mathrm{5}} }}\:\:=\:\frac{\mathrm{4}+\frac{\mathrm{6}}{\infty^{\mathrm{3}} }\:−\frac{\mathrm{7}}{\infty^{\mathrm{5}} }}{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{7}}{\infty^{\mathrm{4}} }+\frac{\mathrm{3}}{\infty^{\mathrm{5}} }} \\ $$$$\:\:=\frac{\mathrm{4}+\mathrm{0}−\mathrm{0}}{\mathrm{1}+\mathrm{0}+\mathrm{0}}=\mathrm{4}// \\ $$
Answered by DELETED last updated on 13/Aug/21
$$\left.\mathrm{3}\right).\:\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\left(\sqrt{\mathrm{5x}+\mathrm{2}}\:−\sqrt{\mathrm{3x}−\mathrm{1}}\:\right)×\frac{\left.\sqrt{\mathrm{5x}+\mathrm{2}}\:+\sqrt{\mathrm{3x}−\mathrm{1}}\:\right)}{\left.\:\sqrt{\mathrm{5x}+\mathrm{2}}\:×\sqrt{\mathrm{3x}−\mathrm{1}}\:\right)} \\ $$$$\:\:=\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\:\frac{\left(\mathrm{5x}+\mathrm{2}\right)−\left(\mathrm{3x}−\mathrm{1}\right)}{\left.\:\sqrt{\mathrm{5x}+\mathrm{2}}\:+\sqrt{\mathrm{3x}−\mathrm{1}}\:\right)}\:=\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\:\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{3}}{\left.\:\sqrt{\mathrm{5x}+\mathrm{2}}\:+\sqrt{\mathrm{3x}−\mathrm{1}}\:\right)} \\ $$$$\:=\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\:\frac{\mathrm{2x}/\sqrt{\mathrm{x}}+\mathrm{3}/\sqrt{\mathrm{x}}}{\left.\:\sqrt{\mathrm{5x}/\mathrm{x}+\mathrm{2}/\mathrm{x}}\:+\sqrt{\mathrm{3x}/\mathrm{x}−\mathrm{1}/\mathrm{x}}\:\right)} \\ $$$$\:=\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\:\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{3}}{\:\sqrt{\mathrm{x}}}}{\left.\:\sqrt{\mathrm{5}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}}}\:+\sqrt{\mathrm{3}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}}\:\right)} \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{2}\sqrt{\infty}+\frac{\mathrm{3}}{\:\sqrt{\infty}}}{\left.\:\sqrt{\mathrm{5}+\frac{\mathrm{2}}{\infty}}\:+\sqrt{\mathrm{3}−\frac{\mathrm{1}}{\infty}}\:\right)}\:=\frac{\infty+\mathrm{0}}{\:\sqrt{\mathrm{5}+\mathrm{0}}\:+\sqrt{\mathrm{3}−\mathrm{0}}} \\ $$$$\:=\frac{\infty}{\:\sqrt{\mathrm{5}}+\sqrt{\mathrm{3}}}\:=\infty// \\ $$
Answered by DELETED last updated on 13/Aug/21
$$\left.\mathrm{4}\right).\:\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\left(\sqrt{\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{3}}\:−\sqrt{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}+\mathrm{5}}=…?\right. \\ $$$$\:\:\:=\:\:\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\left(\sqrt{\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{3}}\:−\sqrt{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}+\mathrm{5}\:}×\frac{\sqrt{\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{3}}\:+\sqrt{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}+\mathrm{5}}}{\:\sqrt{\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{3}}\:+\sqrt{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}+\mathrm{5}}}\right. \\ $$$$=\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\frac{\left(\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{3}\right)−\left(\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}+\mathrm{5}\right)}{\:\sqrt{\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{3}}\:+\sqrt{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}+\mathrm{5}\:}} \\ $$$$=\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}−\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\mathrm{3}}\:+\sqrt{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}+\mathrm{5}\:}} \\ $$$$=\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} /\mathrm{x}−\mathrm{x}/\mathrm{x}−\mathrm{2}/\mathrm{x}}{\:\sqrt{\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} /\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}/\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}/\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:+\sqrt{\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} /\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}/\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{5}/\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:}} \\ $$$$=\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{x}−\mathrm{1}−\mathrm{2}/\mathrm{x}}{\:\sqrt{\mathrm{4}+\mathrm{1}/\mathrm{x}+\mathrm{3}/\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\sqrt{\mathrm{3}+\mathrm{2}/\mathrm{x}+\mathrm{5}/\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}} \\ $$$$=\:\frac{\infty−\mathrm{1}−\mathrm{2}/\infty}{\:\sqrt{\mathrm{4}+\mathrm{1}/\infty+\mathrm{3}/\infty^{\mathrm{2}} +\sqrt{\mathrm{3}+\mathrm{2}/\infty+\mathrm{5}/\infty^{\mathrm{2}} }}} \\ $$$$=\frac{\infty−\mathrm{1}−\mathrm{0}}{\:\sqrt{\mathrm{4}+\mathrm{0}+\mathrm{0}}+\sqrt{\mathrm{3}+\mathrm{0}+\mathrm{0}}}\:=\frac{\infty}{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}}\:=\infty// \\ $$$$ \\ $$