Question Number 150654 by mnjuly1970 last updated on 14/Aug/21
Answered by Ar Brandon last updated on 14/Aug/21
$${S}=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{\left(\mathrm{3}{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{3}{n}+\mathrm{2}\right)}=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}{n}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}{n}+\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\:\:\:=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left({x}^{\mathrm{3}{n}} −{x}^{\mathrm{3}{n}+\mathrm{1}} \right){dx}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \underset{{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\left(\left(−{x}\right)^{\mathrm{3}{n}} +\left(−{x}\right)^{\mathrm{3}{n}+\mathrm{1}} \right){dx} \\ $$$$\:\:\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left(\frac{−{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{3}} }+\frac{{x}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{3}} }\right){dx}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{x}^{\mathrm{3}} \left({x}−\mathrm{1}\right)}{{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}{dx}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left({x}−\mathrm{1}−\frac{{x}−\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}\right){dx} \\ $$$$\:\:\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left({x}−\mathrm{1}−\frac{{x}−\mathrm{1}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}\right)}\right){dx}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left({x}−\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}\left({x}+\mathrm{1}\right)}−\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{3}\left({x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}\right)}\right){dx} \\ $$$$\:\:\:=\left[\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}−{x}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\mathrm{ln}\left({x}+\mathrm{1}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{ln}\left({x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} =−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$
Commented by Tawa11 last updated on 14/Aug/21
$$\mathrm{Great} \\ $$
Commented by mnjuly1970 last updated on 14/Aug/21
$$\:{grateful}..\:{very}\:{nice}… \\ $$