Question Number 152980 by mr W last updated on 03/Sep/21
Commented by mathdanisur last updated on 03/Sep/21
$$\mathrm{a}^{\mathrm{7}} +\mathrm{b}^{\mathrm{7}} +\mathrm{c}^{\mathrm{7}} \:=\:\mathrm{7abc}\left(\mathrm{ab}+\mathrm{bc}+\mathrm{ca}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{a}^{\mathrm{4}} +\mathrm{b}^{\mathrm{4}} +\mathrm{c}^{\mathrm{4}} \:=\:\mathrm{2}\left(\mathrm{ab}+\mathrm{bc}+\mathrm{ca}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{S}\:=\:\frac{\mathrm{7abc}\left(\mathrm{ab}+\mathrm{bc}+\mathrm{ca}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{abc}\left[\mathrm{2}\left(\mathrm{ab}+\mathrm{bc}+\mathrm{ca}\right)^{\mathrm{2}} \right]}\:=\:\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{2}}\:=\:\mathrm{3},\mathrm{5} \\ $$
Commented by mr W last updated on 03/Sep/21
$${solution}\:{please}! \\ $$
Commented by mr W last updated on 03/Sep/21
$${find}\:\frac{\left({a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} +{c}^{\mathrm{2}} \right)\left({a}^{\mathrm{5}} +{b}^{\mathrm{5}} +{c}^{\mathrm{5}} \right)}{{a}^{\mathrm{7}} +{b}^{\mathrm{7}} +{c}^{\mathrm{7}} }=? \\ $$
Commented by mathdanisur last updated on 03/Sep/21
$$=\:\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{7}} \\ $$
Commented by mathdanisur last updated on 03/Sep/21
$$\mathrm{Thanks}\:\mathrm{ser} \\ $$$$\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{7}} +\mathrm{b}^{\mathrm{7}} +\mathrm{c}^{\mathrm{7}} }{\mathrm{7}}\:=\:\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{5}} +\mathrm{b}^{\mathrm{5}} +\mathrm{c}^{\mathrm{5}} }{\mathrm{5}}\:\:\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}} \\ $$
Commented by mathdanisur last updated on 03/Sep/21
$$\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{a}^{\mathrm{k}} +\mathrm{b}^{\mathrm{k}} +\mathrm{c}^{\mathrm{k}} =\mathrm{S}_{\mathrm{k}} \:\:;\:\:\mathrm{k}\in\mathbb{Z}^{+} \:\Rightarrow\:\mathrm{S}_{\mathrm{k}+\mathrm{3}} =\:\mathrm{abc}\:\mathrm{S}_{\mathrm{k}} +\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{S}_{\mathrm{2}} \mathrm{S}_{\mathrm{k}+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=\mathrm{0}\:\:;\:\:\mathrm{a};\mathrm{b};\mathrm{c}\in\mathrm{I}\mathbb{R} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{S}_{\mathrm{0}} =\mathrm{3}\:\:\:\Rightarrow\:\mathrm{a}^{\mathrm{0}} +\mathrm{b}^{\mathrm{0}} +\mathrm{c}^{\mathrm{0}} =\mathrm{3} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{S}_{\mathrm{1}} =\mathrm{0}\:\:\:\Rightarrow\:\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{S}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} =\mathrm{2S}_{\mathrm{4}} \:\:\:\Rightarrow\:\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{2}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{4}} +\mathrm{b}^{\mathrm{4}} +\mathrm{c}^{\mathrm{4}} \right) \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{S}_{\mathrm{3}} =\mathrm{3abc}\:\Rightarrow\:\mathrm{a}^{\mathrm{3}} +\mathrm{b}^{\mathrm{3}} +\mathrm{c}^{\mathrm{3}} =\mathrm{3abc} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{6S}_{\mathrm{5}} =\mathrm{5S}_{\mathrm{2}} \mathrm{S}_{\mathrm{3}} \:\:\:\Rightarrow\:\mathrm{6}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{5}} +\mathrm{b}^{\mathrm{5}} +\mathrm{c}^{\mathrm{5}} \right)=\mathrm{5}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{a}^{\mathrm{3}} +\mathrm{b}^{\mathrm{3}} +\mathrm{c}^{\mathrm{3}} \right) \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{6S}_{\mathrm{7}} =\mathrm{7S}_{\mathrm{3}} \mathrm{S}_{\mathrm{4}} \:\:\:\Rightarrow\:\mathrm{6}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{7}} +\mathrm{b}^{\mathrm{7}} +\mathrm{c}^{\mathrm{7}} \right)=\mathrm{7}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{3}} +\mathrm{b}^{\mathrm{3}} +\mathrm{c}^{\mathrm{3}} \right)\left(\mathrm{a}^{\mathrm{4}} +\mathrm{b}^{\mathrm{4}} +\mathrm{c}^{\mathrm{4}} \right) \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{10S}_{\mathrm{7}} =\mathrm{7S}_{\mathrm{2}} \mathrm{S}_{\mathrm{5}} \:\Rightarrow\:\mathrm{10}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{7}} +\mathrm{b}^{\mathrm{7}} +\mathrm{c}^{\mathrm{7}} \right)=\mathrm{7}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{a}^{\mathrm{5}} +\mathrm{b}^{\mathrm{5}} +\mathrm{c}^{\mathrm{5}} \right) \\ $$$$……… \\ $$
Commented by mathdanisur last updated on 03/Sep/21
$$\mathrm{Prove}\:\mathrm{that}\:\mathrm{if}\:\:\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=\mathrm{0}\:\:\mathrm{then}: \\ $$$$\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{7}} +\mathrm{b}^{\mathrm{7}} +\mathrm{c}^{\mathrm{7}} }{\mathrm{7}}\:=\:\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{5}} +\mathrm{b}^{\mathrm{5}} +\mathrm{c}^{\mathrm{5}} }{\mathrm{5}}\:=\:\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}} \\ $$
Commented by mr W last updated on 03/Sep/21
$${thanks}\:{alot}\:{sir}! \\ $$
Commented by mr W last updated on 03/Sep/21
$${but}\: \\ $$$$\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{7}} +\mathrm{b}^{\mathrm{7}} +\mathrm{c}^{\mathrm{7}} }{\mathrm{7}}\:=\:\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{5}} +\mathrm{b}^{\mathrm{5}} +\mathrm{c}^{\mathrm{5}} }{\mathrm{5}}\:=\:\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}} \\ $$$${is}\:{not}\:{true}. \\ $$
Commented by Tawa11 last updated on 04/Sep/21
$$\mathrm{Nice} \\ $$
Answered by ajfour last updated on 03/Sep/21
$${a}=\mathrm{2}{p},\:{b}={c}=−{p} \\ $$$$\frac{\left(\mathrm{128}−\mathrm{2}\right)}{\mathrm{2}\left(\mathrm{16}+\mathrm{2}\right)}=\frac{\mathrm{126}}{\mathrm{36}}=\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{2}} \\ $$
Commented by mr W last updated on 03/Sep/21
$${thanks}\:{sir}! \\ $$
Answered by mr W last updated on 04/Sep/21
$${p}_{{k}} ={a}^{{k}} +{b}^{{k}} +{c}^{{k}} \\ $$$${e}_{\mathrm{1}} ={a}+{b}+{c} \\ $$$${e}_{\mathrm{2}} ={ab}+{bc}+{ca} \\ $$$${e}_{\mathrm{3}} ={abc} \\ $$$$ \\ $$$${p}_{\mathrm{1}} ={e}_{\mathrm{1}} =\mathrm{0} \\ $$$${p}_{\mathrm{2}} ={e}_{\mathrm{1}} {p}_{\mathrm{1}} −\mathrm{2}{e}_{\mathrm{2}} =−\mathrm{2}{e}_{\mathrm{2}} \\ $$$${p}_{\mathrm{3}} ={e}_{\mathrm{1}} {p}_{\mathrm{2}} −{e}_{\mathrm{2}} {p}_{\mathrm{1}} +\mathrm{3}{e}_{\mathrm{3}} =\mathrm{3}{e}_{\mathrm{3}} \\ $$$${p}_{\mathrm{4}} ={e}_{\mathrm{1}} {p}_{\mathrm{3}} −{e}_{\mathrm{2}} {p}_{\mathrm{2}} +{e}_{\mathrm{3}} {p}_{\mathrm{1}} =\mathrm{2}{e}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} \\ $$$${p}_{\mathrm{5}} ={e}_{\mathrm{1}} {p}_{\mathrm{4}} −{e}_{\mathrm{2}} {p}_{\mathrm{3}} +{e}_{\mathrm{3}} {p}_{\mathrm{2}} =−\mathrm{5}{e}_{\mathrm{2}} {e}_{\mathrm{3}} \\ $$$${p}_{\mathrm{6}} ={e}_{\mathrm{1}} {p}_{\mathrm{5}} −{e}_{\mathrm{2}} {p}_{\mathrm{4}} +{e}_{\mathrm{3}} {p}_{\mathrm{3}} =−\mathrm{2}{e}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{e}_{\mathrm{3}} ^{\mathrm{2}} \\ $$$${p}_{\mathrm{7}} ={e}_{\mathrm{1}} {p}_{\mathrm{6}} −{e}_{\mathrm{2}} {p}_{\mathrm{5}} +{e}_{\mathrm{3}} {p}_{\mathrm{4}} =\mathrm{7}{e}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} {e}_{\mathrm{3}} \\ $$$$\Rightarrow\frac{{a}^{\mathrm{7}} +{b}^{\mathrm{7}} +{c}^{\mathrm{7}} }{{abc}\left({a}^{\mathrm{4}} +{b}^{\mathrm{4}} +{c}^{\mathrm{4}} \right)}=\frac{{p}^{\mathrm{7}} }{{e}_{\mathrm{3}} {p}_{\mathrm{4}} }=\frac{\mathrm{7}{e}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} {e}_{\mathrm{3}} }{{e}_{\mathrm{3}} ×\mathrm{2}{e}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\frac{{a}^{\mathrm{7}} +{b}^{\mathrm{7}} +{c}^{\mathrm{7}} }{\mathrm{7}}={e}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} {e}_{\mathrm{3}} =\frac{−\mathrm{2}{e}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}×\frac{−\mathrm{5}{e}_{\mathrm{2}} {e}_{\mathrm{3}} }{\mathrm{5}}=\frac{{p}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}×\frac{{p}_{\mathrm{5}} }{\mathrm{5}} \\ $$$$\Rightarrow\frac{{a}^{\mathrm{7}} +{b}^{\mathrm{7}} +{c}^{\mathrm{7}} }{\mathrm{7}}=\frac{{a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} +{c}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}×\frac{{a}^{\mathrm{5}} +{b}^{\mathrm{5}} +{c}^{\mathrm{5}} }{\mathrm{5}} \\ $$
Commented by mathdanisur last updated on 04/Sep/21
$$\mathrm{thanks}\:\mathrm{ser} \\ $$