Question Number 154573 by liberty last updated on 19/Sep/21
Commented by ARUNG_Brandon_MBU last updated on 19/Sep/21
$$−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}<{x}<\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$
Answered by ARUNG_Brandon_MBU last updated on 19/Sep/21
$$\mathrm{log}_{\mathrm{8}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}−{x}\right)\centerdot\mathrm{log}_{\mid\mathrm{2}{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mid} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}−{x}\right)>\mathrm{log}_{\mathrm{2}} \frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}−{x}}{\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\left(\mathrm{2}{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} }} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{log}_{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}−{x}\right)\centerdot\frac{\mathrm{log}_{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}−{x}\right)}{\mathrm{log}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)}>\mathrm{log}_{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}−{x}\right)−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\mathrm{log}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right) \\ $$$$\frac{{u}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}{v}}>{u}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}{v}\Rightarrow{u}^{\mathrm{2}} >\mathrm{3}{uv}−\mathrm{2}{v}^{\mathrm{2}} \Rightarrow\left({u}−{v}\right)\left({u}−\mathrm{2}{v}\right)>\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{log}_{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{1}−\mathrm{3}{x}}{\mathrm{1}+\mathrm{6}{x}}\right)\centerdot\mathrm{log}_{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{3}\left(\mathrm{1}−\mathrm{3}{x}\right)}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{6}{x}\right)^{\mathrm{2}} }\right)>\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{Case}\:\mathrm{1}; \\ $$$$\frac{\mathrm{1}−\mathrm{3}{x}}{\mathrm{1}+\mathrm{6}{x}}>\mathrm{1}\:\wedge\:\frac{\mathrm{1}−\mathrm{3}{x}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{6}{x}\right)^{\mathrm{2}} }>\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\frac{−\mathrm{9}{x}}{\mathrm{6}{x}+\mathrm{1}}>\mathrm{0}\:\wedge\:\frac{\mathrm{3}\left(\mathrm{1}−\mathrm{3}{x}\right)−\left(\mathrm{36}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{12}{x}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{3}\left(\mathrm{6}{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }>\mathrm{0} \\ $$$$−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}<{x}<\mathrm{0}\:\wedge\:\mathrm{36}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{21}{x}−\mathrm{2}<\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{Case}\:\mathrm{2} \\ $$$${x}<−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\cup\:{x}>\mathrm{0}\:\wedge\:\mathrm{36}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{21}{x}−\mathrm{2}>\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{0}<{x}<\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:\wedge\mathrm{36}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{21}{x}−\mathrm{2}>\mathrm{0} \\ $$
Answered by iloveisrael last updated on 20/Sep/21
