Question Number 15485 by tawa tawa last updated on 11/Jun/17
Answered by mrW1 last updated on 11/Jun/17
$$\mathrm{Fcos}\:\alpha\geqslant\mu\left(\mathrm{mg}−\mathrm{Fsin}\:\alpha\right) \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{cos}\:\alpha+\mu\mathrm{sin}\:\alpha\right)\geqslant\mu\mathrm{mg} \\ $$$$\mathrm{F}\geqslant\frac{\mu}{\mathrm{cos}\:\alpha+\mu\mathrm{sin}\:\alpha}\mathrm{mg} \\ $$$$\left.\mathrm{a}\right)\:\alpha=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{F}\geqslant\mathrm{0}.\mathrm{45}×\mathrm{8}×\mathrm{10}=\mathrm{36}\:\mathrm{N} \\ $$$$ \\ $$$$\left.\mathrm{b}\right)\:\alpha=\mathrm{60}° \\ $$$$\mathrm{F}\geqslant\frac{\mathrm{0}.\mathrm{45}}{\mathrm{cos}\:\mathrm{60}°+\mathrm{0}.\mathrm{45}×\mathrm{sin}\:\mathrm{60}°}×\mathrm{8}×\mathrm{10}=\mathrm{0}.\mathrm{51}×\mathrm{80}=\mathrm{40}.\mathrm{5}\:\mathrm{N} \\ $$$$ \\ $$$$\left.\mathrm{c}\right)\:\alpha=−\mathrm{60}° \\ $$$$\mathrm{F}\geqslant\frac{\mathrm{0}.\mathrm{45}}{\mathrm{cos}\:\mathrm{60}°−\mathrm{0}.\mathrm{45}×\mathrm{sin}\:\mathrm{60}°}×\mathrm{8}×\mathrm{10}=\mathrm{4}.\mathrm{08}×\mathrm{80}=\mathrm{326}.\mathrm{4}\:\mathrm{N} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{best}\:\mathrm{angle}\:\alpha\:\mathrm{such}\:\mathrm{that}\:\mathrm{F}=\mathrm{min}. \\ $$$$\mathrm{when}\:\mathrm{cos}\:\alpha+\mu\mathrm{sin}\:\alpha\:\mathrm{is}\:\mathrm{maximum} \\ $$$$\mathrm{cos}\:\alpha+\mu\mathrm{sin}\:\alpha\:=\sqrt{\mathrm{1}+\mu^{\mathrm{2}} }\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\mu^{\mathrm{2}} }}\mathrm{cos}\:\alpha+\frac{\mu}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\mu^{\mathrm{2}} }}\mathrm{sin}\:\alpha\right) \\ $$$$\:=\sqrt{\mathrm{1}+\mu^{\mathrm{2}} }\left(\mathrm{cos}\:\theta\mathrm{cos}\:\alpha+\mathrm{sin}\:\theta\mathrm{sin}\:\alpha\right) \\ $$$$\:=\sqrt{\mathrm{1}+\mu^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{cos}\:\left(\alpha−\theta\right) \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{F}\:\mathrm{is}\:\mathrm{mininal}\:\mathrm{when} \\ $$$$\alpha=\theta=\mathrm{cos}^{−\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\mu^{\mathrm{2}} }}=\mathrm{24}.\mathrm{2}° \\ $$$$\mathrm{F}_{\mathrm{min}} =\frac{\mu}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\mu^{\mathrm{2}} }}×\mathrm{mg}=\frac{\mathrm{0}.\mathrm{45}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{0}.\mathrm{45}^{\mathrm{2}} }}×\mathrm{8}×\mathrm{10}=\mathrm{32}.\mathrm{8}\:\mathrm{N} \\ $$
Commented by tawa tawa last updated on 11/Jun/17
$$\mathrm{Wow},\:\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}.\:\mathrm{i}\:\mathrm{appreciate}\:\mathrm{your}\:\mathrm{effort}. \\ $$