Question Number 155969 by mathlove last updated on 06/Oct/21
Answered by MJS_new last updated on 06/Oct/21
$${a}=\sqrt[{\mathrm{2014}}]{\mathrm{2}^{\mathrm{0}} }+\sqrt[{\mathrm{2014}}]{\mathrm{2}^{\mathrm{1}} }+…+\sqrt[{\mathrm{2014}}]{\mathrm{2}^{\mathrm{2013}} }= \\ $$$$=\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{2013}} {\sum}}\mathrm{2}^{\frac{{n}}{\mathrm{2014}}} \\ $$$${b}=\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{{k}−\mathrm{1}} {\sum}}\mathrm{2}^{\frac{{n}}{{k}}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\frac{\mathrm{1}}{{k}}} −\mathrm{1}} \\ $$$$\frac{{b}+\mathrm{1}}{{b}}=\mathrm{2}^{\frac{\mathrm{1}}{{k}}} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$$\left(\frac{{a}+\mathrm{1}}{{a}}\right)^{\mathrm{133}} =\mathrm{2}^{\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{106}}} \\ $$