Question Number 157562 by Ar Brandon last updated on 24/Oct/21
Answered by FongXD last updated on 24/Oct/21
$$\mathrm{Given}:\:\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{square}\:\mathrm{both}\:\mathrm{sides}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{equation} \\ $$$$\Leftrightarrow\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{z}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2xy}+\mathrm{2yz}+\mathrm{2xz}=\mathrm{9} \\ $$$$\mathrm{AM}-\mathrm{GM}\:\mathrm{inequality}:\:\mathrm{a}+\mathrm{b}\geqslant\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{ab}} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{get}:\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{z}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \right)+\left(\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \right)+\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \right)\geqslant\mathrm{9} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \geqslant\mathrm{3} \\ $$
Commented by Ar Brandon last updated on 24/Oct/21
$$\mathrm{thanks} \\ $$
Answered by mnjuly1970 last updated on 24/Oct/21
$$\:\:\:{c}−{sinequality} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\left({x}+{y}+{z}\right)^{\:\mathrm{2}} \leqslant\:\left(\mathrm{1}+\mathrm{1}+\mathrm{1}\right)\left({x}^{\:\mathrm{2}} +{y}^{\:\mathrm{2}} +{z}^{\:\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{3}\:\leqslant\:{x}^{\:\mathrm{2}} +{y}^{\:\mathrm{2}} +\:{z}^{\:\mathrm{2}} \\ $$
Commented by Ar Brandon last updated on 24/Oct/21
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}.\: \\ $$