Question Number 158843 by mnjuly1970 last updated on 09/Nov/21
Commented by mr W last updated on 09/Nov/21
$$\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$${not}\:{true}! \\ $$$${example}:\:{x}=\mathrm{4},\:{y}=\mathrm{6} \\ $$$$\mathrm{6}{x}+\mathrm{11}{y}=\mathrm{24}+\mathrm{66}=\mathrm{90}\:\equiv\mathrm{0}\:{mod}\left(\mathrm{30}\right) \\ $$$${but}\:{x}+\mathrm{7}{y}=\mathrm{4}+\mathrm{42}=\mathrm{46}\:≢\mathrm{0}\:{mod}\left(\mathrm{30}\right) \\ $$
Commented by mnjuly1970 last updated on 09/Nov/21
$$\:\:{yes}\:\:{you}\:{are}\:{right}…\:{thx}\:{mr}\:{W} \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 09/Nov/21
$$\mathrm{Q}_{\mathrm{2}} \:\mathrm{5}^{\mathrm{9}} +\mathrm{64}=\left(\mathrm{5}^{\mathrm{3}} \right)^{\mathrm{3}} +\left(\mathrm{4}\right)^{\mathrm{3}} \\ $$$$\:\:\:\:\:=\left(\mathrm{5}^{\mathrm{3}} +\mathrm{4}\right)\left(\:\left(\mathrm{5}^{\mathrm{3}} \right)^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{5}^{\mathrm{3}} \right)\left(\mathrm{4}\right)+\left(\mathrm{4}\right)^{\mathrm{2}} \:\right) \\ $$$$\:\:\:=\left(\mathrm{125}+\mathrm{4}\right)\left(\mathrm{15625}−\mathrm{500}+\mathrm{16}\right) \\ $$$$\:\:\:=\mathrm{129}×\mathrm{15141} \\ $$$$\therefore\:\mathrm{5}^{\mathrm{9}} +\mathrm{64}\:{is}\:{composite}. \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 09/Nov/21
$$\mathrm{Q}_{\mathrm{3}} \:\:{N}={n}^{\mathrm{5}} −\mathrm{5}{n}^{\mathrm{3}} +\mathrm{4}{n} \\ $$$$=\left({n}−\mathrm{2}\right)\left({n}−\mathrm{1}\right)\left({n}\right)\left({n}+\mathrm{1}\right)\left({n}+\mathrm{2}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{i}\right)\bullet\:\:{n}\:{modulo}\:\mathrm{3}:\: \\ $$$${n}=\mathrm{3}{k}:\:{Obviously}\:\mathrm{3}\:\mid\:{n}\Rightarrow\mathrm{3}\:\mid\:{N} \\ $$$${n}=\mathrm{3}{k}+\mathrm{1}:\:{n}+\mathrm{2}=\mathrm{3}{k}+\mathrm{3}\Rightarrow\mathrm{3}\:\mid\:\left({n}+\mathrm{2}\right)\Rightarrow\mathrm{3}\:\mid\:{N} \\ $$$${n}=\mathrm{3}{k}+\mathrm{2}:\:{n}+\mathrm{1}=\mathrm{3}{k}+\mathrm{3}\Rightarrow\mathrm{3}\:\mid\:\left({n}+\mathrm{1}\right)\Rightarrow\mathrm{3}\:\mid\:{N} \\ $$$$\therefore\:\mathrm{3}\:\mid\:{N}………………………{A} \\ $$$$\left(\mathrm{ii}\right)\bullet\:{n}\:{modulo}\:\mathrm{2} \\ $$$${n}=\mathrm{2}{k}:\:{N}=\left(\mathrm{2}{k}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{k}−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{2}{k}\right)\left(\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{k}+\mathrm{2}\right) \\ $$$$\:\:\:\:=\mathrm{8}\left(\mathrm{4}{k}^{\mathrm{3}} −\mathrm{5}{k}^{\mathrm{2}} +{k}\right)\Rightarrow\mathrm{8}\:\mid{N} \\ $$$${n}=\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}:{N}=\left(\mathrm{2}{k}\right)\left(\mathrm{2}{k}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{k}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{2}{k}+\mathrm{3}\right) \\ $$$$=\mathrm{32}{k}^{\mathrm{5}} +\mathrm{80}{k}^{\mathrm{4}} +\mathrm{40}{k}^{\mathrm{3}} −\mathrm{20}{k}^{\mathrm{2}} −\mathrm{12}{k} \\ $$$$=\mathrm{8}\left(\mathrm{4}{k}^{\mathrm{5}} +\mathrm{10}{k}^{\mathrm{4}} +\mathrm{5}{k}^{\mathrm{3}} −\frac{{k}\left(\mathrm{5}{k}+\mathrm{3}\right)}{\mathrm{2}}\:\right) \\ $$$${Can}\:{be}\:{proved}\:{that}\:{k}\left(\mathrm{5}{k}+\mathrm{3}\right)\:{is} \\ $$$$\:{divisible}\:{by}\:\mathrm{2}\:{in}\:{both}\:{cases}:\left({i}\right){k}\in\mathbb{E} \\ $$$${or}\:\left({ii}\right){k}\in\mathbb{O} \\ $$$$\therefore\:\mathrm{8}\:\mid\:{N}…………………………..{B} \\ $$$$\left(\mathrm{iii}\right)\bullet\:{n}\:{modulo}\:\mathrm{5}: \\ $$$${n}=\mathrm{5}{k}\Rightarrow\mathrm{5}\:\mid\:{n}\Rightarrow\mathrm{5}\:\mid\:{N} \\ $$$${n}=\mathrm{5}{k}+\mathrm{1}\Rightarrow{n}−\mathrm{1}=\mathrm{5}{k}\Rightarrow\mathrm{5}\:\mid\:{n}−\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{5}\:\mid\:{N} \\ $$$${n}=\mathrm{5}{k}+\mathrm{2}\Rightarrow{n}−\mathrm{2}=\mathrm{5}{k}\Rightarrow\mathrm{5}\:\mid\:{n}−\mathrm{2}\Rightarrow\mathrm{5}\:\mid\:{N} \\ $$$${n}=\mathrm{5}{k}+\mathrm{3}\Rightarrow{n}+\mathrm{2}=\mathrm{5}\left({k}+\mathrm{1}\right)\Rightarrow\mathrm{5}\:\mid\:{n}+\mathrm{2}\Rightarrow\mathrm{5}\:\mid\:{N} \\ $$$${n}=\mathrm{5}{k}+\mathrm{4}\Rightarrow{n}+\mathrm{1}=\mathrm{5}\left({k}+\mathrm{1}\right)\Rightarrow\mathrm{5}\:\mid\:{n}+\mathrm{1}\Rightarrow{n}\:\mid\:{N} \\ $$$$\therefore\:\mathrm{5}\:\mid\:{N}…………………………{C} \\ $$$${A}\:\&\:{B}\:\&\:{C}\Rightarrow\mathrm{120}\:\mid\:{N} \\ $$
Commented by mnjuly1970 last updated on 09/Nov/21
$${thanks}\:{alot}\:{sir} \\ $$