Question Number 15916 by tawa tawa last updated on 15/Jun/17
Commented by tawa tawa last updated on 15/Jun/17
$$\mathrm{6a}\:\mathrm{and}\:\mathrm{b} \\ $$
Commented by tawa tawa last updated on 15/Jun/17
$$\mathrm{please}\:\mathrm{help}. \\ $$
Answered by RasheedSoomro last updated on 16/Jun/17
$$\mathrm{6}\left(\mathrm{b}\right)\:\:\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2x}+\mathrm{3}\right)} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{show}\:\mathrm{that}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{16f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}+\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{Hence}\:\mathrm{or}\:\mathrm{otherwise}\:\mathrm{show}\:\mathrm{tbat}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sum}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{first} \\ $$$$\mathrm{n}\:\mathrm{terms}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{series} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}×\mathrm{3}×\mathrm{5}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{3}×\mathrm{5}×\mathrm{7}}+\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{5}×\mathrm{7}×\mathrm{9}}+…. \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{is} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{24}}−\frac{\mathrm{4n}+\mathrm{5}}{\mathrm{8}\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2n}+\mathrm{3}\right)} \\ $$$$−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− \\ $$$$\mathrm{A}\:\mathrm{TRY}… \\ $$$$\mathrm{Let}\:\:\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2x}+\mathrm{3}\right)}=\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{B}}{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{2x}+\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{A}\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2x}+\mathrm{3}\right)+\mathrm{B}\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2x}+\mathrm{3}\right)+\mathrm{C}\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{x}+\mathrm{1} \\ $$$$\:^{\bullet} \mathrm{Let}\:\mathrm{2x}−\mathrm{1}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{1}/\mathrm{2}: \\ $$$$\mathrm{A}\left(\:\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{1}\:\right)\left(\:\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{3}\:\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{8A}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\Rightarrow\mathrm{A}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}} \\ $$$$\:^{\bullet} \mathrm{Let}\:\mathrm{2x}+\mathrm{1}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{x}=−\mathrm{1}/\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{B}\left(\:\mathrm{2}\left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)−\mathrm{1}\:\right)\left(\:\mathrm{2}\left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{3}\:\right)=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\mathrm{1} \\ $$$$−\mathrm{4B}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\Rightarrow\mathrm{B}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}} \\ $$$$\:^{\bullet} \mathrm{Let}\:\mathrm{x}=\mathrm{2x}+\mathrm{3}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{x}=−\mathrm{3}/\mathrm{2} \\ $$$$\:\mathrm{C}\left(\:\mathrm{2}\left(−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)−\mathrm{1}\:\right)\left(\:\mathrm{2}\left(−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{1}\:\right)=−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}+\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{8C}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\Rightarrow\mathrm{C}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}} \\ $$$$\mathrm{Hence}\: \\ $$$$\:\:\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2x}+\mathrm{3}\right)}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}\left(\mathrm{2x}+\mathrm{3}\right)} \\ $$$$\mathrm{16}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}+\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{Now}, \\ $$$$\:\:\underset{\mathrm{x}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\Sigma}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{x}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\Sigma}}\:\left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2x}+\mathrm{3}\right)}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}×\mathrm{3}×\mathrm{5}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{3}×\mathrm{5}×\mathrm{7}}+\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{5}×\mathrm{7}×\mathrm{9}}+…. \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\underset{\mathrm{x}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\Sigma}}\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}\left(\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}\left(\mathrm{2x}+\mathrm{3}\right)}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}\:}\underset{\mathrm{x}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\Sigma}}\:\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\:\mathrm{2x}−\mathrm{1}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\underset{\:\mathrm{x}=\mathrm{1}\:\:\:} {\overset{\mathrm{n}} {\Sigma}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\underset{\:\:\mathrm{x}=\mathrm{1}\:\:\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\Sigma}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}+\mathrm{3}}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{Can}'\mathrm{t}\:\mathrm{continue}\:\mathrm{further}.\:\mathrm{I}'\mathrm{m}\:\mathrm{sorry}! \\ $$
Commented by tawa tawa last updated on 15/Jun/17
$$\mathrm{Am}\:\mathrm{with}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}.\:\mathrm{thanks}\:\mathrm{for}\:\mathrm{your}\:\mathrm{help}. \\ $$
Commented by mrW1 last updated on 16/Jun/17
$$\mathrm{I}'\mathrm{ll}\:\mathrm{try}\:\mathrm{to}\:\mathrm{continue}: \\ $$$$=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{16}\:}\underset{\mathrm{x}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\Sigma}}\:\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\:\mathrm{2x}−\mathrm{1}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\underset{\:\mathrm{x}=\mathrm{1}\:\:\:} {\overset{\mathrm{n}} {\Sigma}}\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\underset{\:\:\mathrm{x}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\Sigma}}\:\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}+\mathrm{3}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{16}\:}\underset{\mathrm{x}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\Sigma}}\:\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\:\mathrm{2x}−\mathrm{1}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}\:}\underset{\mathrm{x}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\:\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\:\mathrm{2x}−\mathrm{1}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\underset{\:\mathrm{x}=\mathrm{1}\:\:\:} {\overset{\mathrm{n}} {\Sigma}}\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\underset{\:\:\mathrm{x}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\Sigma}}\:\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}+\mathrm{3}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}\:}\underset{\mathrm{x}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\Sigma}}\:\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\:\mathrm{2x}−\mathrm{1}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}\:}\underset{\mathrm{x}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\:\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\:\mathrm{2x}−\mathrm{1}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\underset{\:\mathrm{x}=\mathrm{1}\:\:\:} {\overset{\mathrm{n}} {\Sigma}}\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\underset{\:\:\mathrm{x}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\Sigma}}\:\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}+\mathrm{3}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}\:}\underset{\mathrm{t}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{n}−\mathrm{1}} {\Sigma}}\:\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\:\mathrm{2t}+\mathrm{1}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}\:}\underset{\mathrm{t}=−\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}−\mathrm{2}} {\sum}}\:\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\:\mathrm{2t}+\mathrm{3}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\underset{\:\mathrm{x}=\mathrm{1}\:\:\:} {\overset{\mathrm{n}} {\Sigma}}\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\underset{\:\:\mathrm{x}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\Sigma}}\:\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}+\mathrm{3}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}\:}\underset{\mathrm{t}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\Sigma}}\:\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\:\mathrm{2t}+\mathrm{1}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}×\mathrm{0}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\right]+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}\:}\underset{\mathrm{t}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\:\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\:\mathrm{2t}+\mathrm{3}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(−\mathrm{1}\right)+\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{0}\right)+\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{n}\right)+\mathrm{3}}\right]−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\underset{\:\mathrm{x}=\mathrm{1}\:\:\:} {\overset{\mathrm{n}} {\Sigma}}\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\underset{\:\:\mathrm{x}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\Sigma}}\:\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}+\mathrm{3}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}\:}\underset{\mathrm{x}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\Sigma}}\:\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\:\mathrm{2x}+\mathrm{1}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}×\mathrm{0}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\right]+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}\:}\underset{\mathrm{x}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\:\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\:\mathrm{2x}+\mathrm{3}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(−\mathrm{1}\right)+\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{0}\right)+\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{n}\right)+\mathrm{3}}\right]−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\underset{\:\mathrm{x}=\mathrm{1}\:\:\:} {\overset{\mathrm{n}} {\Sigma}}\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\underset{\:\:\mathrm{x}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\Sigma}}\:\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}+\mathrm{3}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}×\mathrm{0}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\right]+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(−\mathrm{1}\right)+\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{0}\right)+\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{n}\right)+\mathrm{3}}\right] \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left[\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\right]+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\left[\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{3}}\right] \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{8}×\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\left[\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{3}}\right] \\ $$$$=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{24}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}\left[\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{3}}\right] \\ $$$$=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{24}}−\frac{\mathrm{4n}+\mathrm{5}}{\mathrm{8}\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2n}+\mathrm{3}\right)} \\ $$
Commented by tawa tawa last updated on 16/Jun/17
$$\mathrm{I}\:\mathrm{really}\:\mathrm{appreciate}\:\mathrm{your}\:\mathrm{time}.\:\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}.\:\mathrm{Rasheed} \\ $$
Commented by tawa tawa last updated on 16/Jun/17
$$\mathrm{Wow}\:\mathrm{sir}\:\mathrm{MrW1}\:,\:\mathrm{i}\:\mathrm{really}\:\mathrm{appreciate}\:\mathrm{sir}.\:\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}. \\ $$
Commented by tawa tawa last updated on 16/Jun/17
$$\mathrm{Sir}\:\mathrm{what}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\:\mathrm{6a}\:\:\:\mathrm{and}\:\:\:\mathrm{the}\:\mathrm{deduce}\:\mathrm{that}\:\mathrm{sum}\:\mathrm{to}\:\mathrm{infinity}\:\mathrm{is}\:\:\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{24}} \\ $$
Commented by mrW1 last updated on 16/Jun/17
$$\mathrm{sorry},\:\mathrm{I}\:\mathrm{don}'\mathrm{t}\:\mathrm{understand}\:\mathrm{what}\:\mathrm{is}\:\mathrm{meant} \\ $$$$\mathrm{in}\:\mathrm{question}\:\mathrm{6a}. \\ $$
Commented by RasheedSoomro last updated on 16/Jun/17
$$\:^{\bullet} \mathrm{Have}\:\mathrm{learnt}\:\mathrm{something}\:\mathrm{from}\:\mathrm{you}\:\mathrm{mrW1}.\:\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{Sir}. \\ $$$$\:^{\bullet} \mathrm{Miss}\:\mathrm{tawa},\:\mathrm{your}\:\mathrm{question}\:\mathrm{became}\:\mathrm{means}\:\mathrm{to}\:\mathrm{increase}\:\mathrm{my}\: \\ $$$$\:\:\:\mathrm{knowledge}.\:\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{for}\:\mathrm{this}. \\ $$$$ \\ $$
Commented by mrW1 last updated on 16/Jun/17
$$\mathrm{Mr}.\:\mathrm{Rasheed},\:\mathrm{you}\:\mathrm{are}\:\mathrm{welcome}\:\mathrm{Sir}! \\ $$
Answered by tawa tawa last updated on 15/Jun/17
$$\mathrm{Please}\:\mathrm{help}. \\ $$