Question Number 159488 by Tawa11 last updated on 17/Nov/21
Answered by mr W last updated on 17/Nov/21
$${T}_{{n}} =\mathrm{4}{T}_{{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{3} \\ $$$${let}\:{T}_{{n}} ={S}_{{n}} +{A} \\ $$$${S}_{{n}} +{A}=\mathrm{4}\left({S}_{{n}−\mathrm{1}} +{A}\right)−\mathrm{3} \\ $$$${S}_{{n}} =\mathrm{4}{S}_{{n}−\mathrm{1}} +\left(\mathrm{3}{A}−\mathrm{3}\right) \\ $$$${let}\:\mathrm{3}{A}−\mathrm{3}=\mathrm{0},\:{i}.{e}.\:{A}=\mathrm{1} \\ $$$${S}_{{n}} =\mathrm{4}{S}_{{n}−\mathrm{1}} \\ $$$${this}\:{is}\:{a}\:{G}.{P}. \\ $$$$\Rightarrow{S}_{{n}} =\mathrm{4}^{{n}−\mathrm{2}} {S}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\left({T}_{{n}} −\mathrm{1}\right)=\mathrm{4}^{{n}−\mathrm{2}} \left({T}_{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right) \\ $$$$\Rightarrow{T}_{{n}} =\mathrm{4}^{{n}−\mathrm{2}} \left({T}_{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)+\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow{T}_{\mathrm{3}} =\mathrm{4}\left({T}_{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}=\mathrm{4}{T}_{\mathrm{2}} −\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{2}{T}_{\mathrm{3}} =\mathrm{5}{T}_{\mathrm{2}} \:{as}\:{given} \\ $$$$\mathrm{2}\left(\mathrm{4}{T}_{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\right)=\mathrm{5}{T}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow{T}_{\mathrm{2}} =\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow{T}_{{n}} =\mathrm{4}^{{n}−\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow{T}_{{n}} =\mathrm{4}^{{n}−\mathrm{2}} +\mathrm{1} \\ $$$${T}_{\mathrm{1}} =\mathrm{4}^{−\mathrm{1}} +\mathrm{1}=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{4}} \\ $$$${T}_{\mathrm{2}} =\mathrm{4}^{\mathrm{0}} +\mathrm{1}=\mathrm{2} \\ $$$${T}_{\mathrm{3}} =\mathrm{4}+\mathrm{1}=\mathrm{5} \\ $$$$…… \\ $$
Commented by Tawa11 last updated on 18/Nov/21
$$\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}.\:\mathrm{I}\:\mathrm{really}\:\mathrm{appreciate}\:… \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 18/Nov/21
$$\mathrm{t}_{\mathrm{n}} =\mathrm{4t}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{t}_{\mathrm{3}} =\mathrm{4t}_{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\:\wedge\:\mathrm{2t}_{\mathrm{3}} =\mathrm{5t}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}\left(\mathrm{4t}_{\mathrm{2}} −\mathrm{3}\right)=\mathrm{5t}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{8t}_{\mathrm{2}} −\mathrm{5t}_{\mathrm{2}} =\mathrm{6} \\ $$$$\mathrm{t}_{\mathrm{2}} =\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{t}_{\mathrm{3}} =\mathrm{4}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{3}=\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{t}_{\mathrm{2}} =\mathrm{4t}_{\mathrm{1}} −\mathrm{3}=\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{t}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{t}_{\mathrm{1}} ,\mathrm{t}_{\mathrm{2}} ,\mathrm{t}_{\mathrm{3}} =\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{4}},\mathrm{2},\mathrm{5} \\ $$
Commented by Tawa11 last updated on 18/Nov/21
$$\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir},\:\mathrm{I}\:\mathrm{really}\:\mathrm{appreciate}. \\ $$