Question Number 160391 by akolade last updated on 29/Nov/21
Answered by FongXD last updated on 29/Nov/21
$$\bullet\:\left(\mathrm{x}^{\mathrm{x}} \right)'=\left(\mathrm{e}^{\mathrm{xlnx}} \right)'=\mathrm{e}^{\mathrm{xlnx}} \left(\mathrm{lnx}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{x}^{\mathrm{x}} \left(\mathrm{lnx}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\bullet\:\left(\mathrm{x}^{\mathrm{x}^{\mathrm{x}} } \right)'=\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}^{\mathrm{x}} \mathrm{lnx}} \right)'=\mathrm{e}^{\mathrm{x}^{\mathrm{x}} \mathrm{lnx}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{x}} \mathrm{lnx}\right)' \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{x}^{\mathrm{x}^{\mathrm{x}} } \left[\left(\mathrm{x}^{\mathrm{x}} \right)'\mathrm{lnx}+\left(\mathrm{lnx}\right)'\mathrm{x}^{\mathrm{x}} \right] \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{x}^{\mathrm{x}^{\mathrm{x}} } \left[\mathrm{x}^{\mathrm{x}} \left(\mathrm{lnx}+\mathrm{1}\right)\mathrm{lnx}+\mathrm{x}^{\mathrm{x}−\mathrm{1}} \right] \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{x}^{\mathrm{x}^{\mathrm{x}} +\mathrm{x}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{xln}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{xlnx}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\Rightarrow\:\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{y}'=\left(\mathrm{x}^{\mathrm{x}^{\mathrm{x}^{\mathrm{x}} } } \right)'=\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}^{\mathrm{x}^{\mathrm{x}} } \mathrm{lnx}} \right)'=\mathrm{e}^{\mathrm{x}^{\mathrm{x}^{\mathrm{x}} } \mathrm{lnx}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{x}^{\mathrm{x}} } \mathrm{lnx}\right)' \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{x}^{\mathrm{x}^{\mathrm{x}^{\mathrm{x}} } } \left[\left(\mathrm{x}^{\mathrm{x}^{\mathrm{x}} } \right)'\mathrm{lnx}+\left(\mathrm{lnx}\right)'\mathrm{x}^{\mathrm{x}^{\mathrm{x}} } \right] \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{x}^{\mathrm{x}^{\mathrm{x}^{\mathrm{x}} } } \left[\mathrm{x}^{\mathrm{x}^{\mathrm{x}} +\mathrm{x}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{xln}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{xlnx}+\mathrm{1}\right)\mathrm{lnx}+\mathrm{x}^{\mathrm{x}^{\mathrm{x}} −\mathrm{1}} \right] \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{x}^{\mathrm{x}^{\mathrm{x}^{\mathrm{x}} } +\mathrm{x}^{\mathrm{x}} −\mathrm{1}} \left[\mathrm{x}^{\mathrm{x}} \left(\mathrm{xln}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}+\mathrm{xln}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{lnx}\right)+\mathrm{1}\right] \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{x}^{\mathrm{x}^{\mathrm{x}^{\mathrm{x}} } +\mathrm{x}^{\mathrm{x}} −\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} \mathrm{ln}^{\mathrm{3}} \mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} \mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{lnx}+\mathrm{1}\right) \\ $$