Question-160837

Question Number 160837 by mnjuly1970 last updated on 07/Dec/21

Commented by cortano last updated on 07/Dec/21

⇔ x^2 +x^4 −2x^2 +1=x(x^2 +2x+1) ⇔x^4 −x^2 +1 = x^3 +2x^2 +x ⇔x^4 −x^3 −3x^2 −x+1 = 0 ⇔(x^2 +ax+1)(x^2 +bx+1)=x^4 −x^3 −3x^2 −x+1 ⇒x^4 +(a+b)x^3 +(ab+2)x^2 +(a+b)x+1= x^4 −x^3 −3x^2 −x+1 ⇒ { ((a+b=−1)),((ab+2=−3)) :}→ { ((b=−1−a)),((a(−1−a)=−5)) :} ⇒a^2 +a−5=0 ⇒a = ((−1±(√(21)))/2) ⇒ { ((a=((−1+(√(21)))/2) ; b=((−1−(√(21)))/2))),((a=((−1−(√(21)))/2) ; b=((−1+(√(21)))/2))) :} ⇒ { ((x^2 +((((√(21))−1)/2))x+1=0)),((x^2 −(((1+(√(21)))/2))x+1=0)) :} ⇒ { ((Δ_1 =((((√(21))−1)/2))^2 −4<0 (reject))),((Δ_2 =((((√(21))+1)/2))^2 −4>0 (accept))) :} so ⇒2x^2 −((√(21))+1)x+2=0 { (α),(β) :} { ((α+β=(((√(21))+1)/2))),((αβ=1)) :} ⇒(((α−1)(β−1))/((α+1)(β+1))) = ((αβ−(α+β)+1)/(αβ+(α+β)+1)) ⇒ ((2−((((√(21))+1)/2)))/(2+((((√(21))+1)/2)))) = ((3−(√(21)))/(5+(√(21)))) = (((3−(√(21)))(5−(√(21))))/4) = ((36−8(√(21)))/4)= 9−2(√(21))

$$\Leftrightarrow\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}=\mathrm{x}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\:=\:\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{ax}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bx}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\left(\mathrm{ab}+\mathrm{2}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)\mathrm{x}+\mathrm{1}= \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{a}+\mathrm{b}=−\mathrm{1}}\\{\mathrm{ab}+\mathrm{2}=−\mathrm{3}}\end{cases}\rightarrow\begin{cases}{\mathrm{b}=−\mathrm{1}−\mathrm{a}}\\{\mathrm{a}\left(−\mathrm{1}−\mathrm{a}\right)=−\mathrm{5}}\end{cases} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}−\mathrm{5}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{a}\:=\:\frac{−\mathrm{1}\pm\sqrt{\mathrm{21}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{a}=\frac{−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{21}}}{\mathrm{2}}\:;\:\mathrm{b}=\frac{−\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{21}}}{\mathrm{2}}}\\{\mathrm{a}=\frac{−\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{21}}}{\mathrm{2}}\:;\:\mathrm{b}=\frac{−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{21}}}{\mathrm{2}}}\end{cases} \\ $$$$\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\left(\frac{\sqrt{\mathrm{21}}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}+\mathrm{1}=\mathrm{0}}\\{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\left(\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{21}}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}+\mathrm{1}=\mathrm{0}}\end{cases} \\ $$$$\Rightarrow\begin{cases}{\Delta_{\mathrm{1}} =\left(\frac{\sqrt{\mathrm{21}}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}<\mathrm{0}\:\left(\mathrm{reject}\right)}\\{\Delta_{\mathrm{2}} =\left(\frac{\sqrt{\mathrm{21}}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}>\mathrm{0}\:\left(\mathrm{accept}\right)}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{so}\:\Rightarrow\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\left(\sqrt{\mathrm{21}}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}+\mathrm{2}=\mathrm{0\begin{cases}{\alpha}\\{\beta}\end{cases}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\begin{cases}{\alpha+\beta=\frac{\sqrt{\mathrm{21}}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\\{\alpha\beta=\mathrm{1}}\end{cases} \\ $$$$\:\Rightarrow\frac{\left(\alpha−\mathrm{1}\right)\left(\beta−\mathrm{1}\right)}{\left(\alpha+\mathrm{1}\right)\left(\beta+\mathrm{1}\right)}\:=\:\frac{\alpha\beta−\left(\alpha+\beta\right)+\mathrm{1}}{\alpha\beta+\left(\alpha+\beta\right)+\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow\:\frac{\mathrm{2}−\left(\frac{\sqrt{\mathrm{21}}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{2}+\left(\frac{\sqrt{\mathrm{21}}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)}\:=\:\frac{\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{21}}}{\mathrm{5}+\sqrt{\mathrm{21}}}\:=\:\frac{\left(\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{21}}\right)\left(\mathrm{5}−\sqrt{\mathrm{21}}\right)}{\mathrm{4}} \\ $$$$\:=\:\frac{\mathrm{36}−\mathrm{8}\sqrt{\mathrm{21}}}{\mathrm{4}}=\:\mathrm{9}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{21}} \\ $$

Commented by mnjuly1970 last updated on 07/Dec/21

$${thanks}\:{alot}\:{master}… \\ $$

Commented by Tawa11 last updated on 07/Dec/21

$$\mathrm{Great}\:\mathrm{sir}. \\ $$

Commented by HongKing last updated on 08/Dec/21

x^2 + (x^2 - 1)^2 = x∙(x + 1)^2 (x^2 - 1)^2 + x^2 - x∙(x + 1)^2 = 0 x^4 - x^3 - 3x^2 - x + 1 = 0 x^2 ∙(x^2 - x - 3 - (1/x) + (1/x^2 )) = 0 (i) x^2 - (1/2) ∙ (1 + (√(21)))∙x + 1 = 0 (ii) x^2 + (1/2) ∙ ((√(21)) - 1)∙x + 1 = 0 (no) (i) → roots 𝛂 and 𝛃 (((α - 1)∙(β - 1))/((α + 1)∙(β + 1))) = ((3 - (√(21)))/(5 + (√(21)))) = 9 - 2 (√(21)) •

$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:-\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{x}\centerdot\left(\mathrm{x}\:+\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:-\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:-\:\mathrm{x}\centerdot\left(\mathrm{x}\:+\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{4}} \:-\:\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \:-\:\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} \:-\:\mathrm{x}\:+\:\mathrm{1}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \centerdot\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:-\:\mathrm{x}\:-\:\mathrm{3}\:-\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\right)\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\left({i}\right)\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:-\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\centerdot\:\left(\mathrm{1}\:+\:\sqrt{\mathrm{21}}\right)\centerdot\mathrm{x}\:+\:\mathrm{1}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\left({ii}\right)\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\centerdot\:\left(\sqrt{\mathrm{21}}\:-\:\mathrm{1}\right)\centerdot\mathrm{x}\:+\:\mathrm{1}\:=\:\mathrm{0}\:\:\left(\mathrm{no}\right) \\ $$$$\left({i}\right)\:\rightarrow\:\mathrm{roots}\:\:\boldsymbol{\alpha}\:\:\mathrm{and}\:\:\boldsymbol{\beta} \\ $$$$\frac{\left(\alpha\:-\:\mathrm{1}\right)\centerdot\left(\beta\:-\:\mathrm{1}\right)}{\left(\alpha\:+\:\mathrm{1}\right)\centerdot\left(\beta\:+\:\mathrm{1}\right)}\:=\:\frac{\mathrm{3}\:-\:\sqrt{\mathrm{21}}}{\mathrm{5}\:+\:\sqrt{\mathrm{21}}}\:=\:\mathrm{9}\:-\:\mathrm{2}\:\sqrt{\mathrm{21}}\:\:\bullet \\ $$

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