Question-161742

Question Number 161742 by mr W last updated on 21/Dec/21

Commented by mr W last updated on 21/Dec/21

$${find}\:{the}\:{radii}\:{of}\:{the}\:{circles}\:{inside} \\ $$$${the}\:{big}\:{quater}\:{circle}. \\ $$

Answered by FongXD last updated on 22/Dec/21

determinant (((Find the radius (r) of the small circle))): • tan2α=(8/4)=2=((2tanα)/(1−tan^2 α)), but tanα=(r/(FE)) ⇔ ((2r(FE))/((FE)^2 −r^2 ))=2, ⇔ (FE)^2 −r(FE)−r^2 =0 ⇒ FE=r(((1+(√5))/2)) ▲ in the right triangle OFD: • FD^2 =OD^2 −OF^2 ⇔ FD=(√((8−r)^2 −r^2 )) ⇔ 4+FE=4+r(((1+(√5))/2))=(√(64−16r)) ⇔ 64+16r(1+(√5))+r^2 (6+2(√5))=256−64r ⇔ (3+(√5))r^2 +8r(5+(√5))−96=0 ⇒ r=((−4(5+(√5))+(√(16(30+10(√5))+96(3+(√5)))))/(3+(√5))) ⇒ r=((−4(5+(√5))+4(√(48+16(√5))))/(9−5))×(3−(√5)) ⇒ r=(5+(√5))((√5)−3)+4(3−(√5))(√(3+(√5))) ⇒ r=2(√5)−10+(12−4(√5))(((√5)+1)/( (√2))) ⇒ r=2(√5)−10+((8(√5)−8)/( (√2))) therefore, determinant (((r=4(√(10))+2(√5)−4(√2)−10))) determinant (((Find the radius (R) of the big circle))): ▲ in the right triangle O′DG: • DG^2 =O′D^2 −O′R^2 ⇒ DG=(√((8−R)^2 −R^2 ))=4(√(4−R)) • O′H=CG=8−DG=8−4(√(4−R)) ▲ in the right triangle O′JE: • O′E^2 =O′J^2 +JE^2 ⇔ O′E^2 =(4(√(4−R)))^2 +(4−R)^2 ⇒ O′E^2 =R^2 −24R+80 ▲ in the right triangle O′IE: • EI^2 =O′E^2 −O′I^2 ⇒ EI=(√((R^2 −24R+80)−R^2 ))=(√(80−24R)) ▲ in the right triangle ABE: • BE^2 =AB^2 +AE^2 ⇒ BE=(√(8^2 +4^2 ))=4(√5) • IB=BE−EI=4(√5)−(√(80−24R)) ▲ in the right triangle O′BI and O′BH • O′I^2 +IB^2 =O′H^2 +HB^2 ⇔ R^2 +(4(√5)−(√(80−24R)))^2 =(8−4(√(4−R)))^2 +(8−R)^2 ⇔ R^2 +(160−24R−16(√(100−30R)))=(128−16R−64(√(4−R)))+(R^2 −16R+64) ⇔ R−4=2(√(100−30R))−8(√(4−R)) ⇔ R^2 −8R+16=656−184R−32(√(30R^2 −220R+400)) ⇔ R^2 +176R−640=−32(√(30R^2 −220R+400)) ⇔ R^4 +30976R^2 +409600+352R^3 −225280R−1280R^2 =30720R^2 −225280R+409600 ⇔ R^4 +352R^3 −1024R^2 =0 ⇔ R^2 +352R−1024=0 therefore, determinant (((R=80(√5)−176)))

$$\begin{array}{|c|}{\mathrm{Find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{radius}\:\left(\mathrm{r}\right)\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{small}\:\mathrm{circle}}\\\hline\end{array}: \\ $$$$\bullet\:\mathrm{tan2}\alpha=\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{4}}=\mathrm{2}=\frac{\mathrm{2tan}\alpha}{\mathrm{1}−\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \alpha},\:\mathrm{but}\:\mathrm{tan}\alpha=\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{FE}} \\ $$$$\Leftrightarrow\:\frac{\mathrm{2r}\left(\mathrm{FE}\right)}{\left(\mathrm{FE}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{r}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{2},\:\Leftrightarrow\:\left(\mathrm{FE}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{r}\left(\mathrm{FE}\right)−\mathrm{r}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{FE}=\mathrm{r}\left(\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\blacktriangle\:\mathrm{in}\:\mathrm{the}\:\mathrm{right}\:\mathrm{triangle}\:\mathrm{OFD}: \\ $$$$\bullet\:\mathrm{FD}^{\mathrm{2}} =\mathrm{OD}^{\mathrm{2}} −\mathrm{OF}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Leftrightarrow\:\mathrm{FD}=\sqrt{\left(\mathrm{8}−\mathrm{r}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{r}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\Leftrightarrow\:\mathrm{4}+\mathrm{FE}=\mathrm{4}+\mathrm{r}\left(\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}\right)=\sqrt{\mathrm{64}−\mathrm{16r}} \\ $$$$\Leftrightarrow\:\mathrm{64}+\mathrm{16r}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{5}}\right)+\mathrm{r}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{6}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}\right)=\mathrm{256}−\mathrm{64r} \\ $$$$\Leftrightarrow\:\left(\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{5}}\right)\mathrm{r}^{\mathrm{2}} +\mathrm{8r}\left(\mathrm{5}+\sqrt{\mathrm{5}}\right)−\mathrm{96}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{r}=\frac{−\mathrm{4}\left(\mathrm{5}+\sqrt{\mathrm{5}}\right)+\sqrt{\mathrm{16}\left(\mathrm{30}+\mathrm{10}\sqrt{\mathrm{5}}\right)+\mathrm{96}\left(\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{5}}\right)}}{\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{5}}} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{r}=\frac{−\mathrm{4}\left(\mathrm{5}+\sqrt{\mathrm{5}}\right)+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{48}+\mathrm{16}\sqrt{\mathrm{5}}}}{\mathrm{9}−\mathrm{5}}×\left(\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{5}}\right) \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{r}=\left(\mathrm{5}+\sqrt{\mathrm{5}}\right)\left(\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{3}\right)+\mathrm{4}\left(\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{5}}\right)\sqrt{\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{5}}} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{r}=\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{10}+\left(\mathrm{12}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{5}}\right)\frac{\sqrt{\mathrm{5}}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{r}=\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{10}+\frac{\mathrm{8}\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{8}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}} \\ $$$$\mathrm{therefore},\:\begin{array}{|c|}{\mathrm{r}=\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{10}}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{10}}\\\hline\end{array} \\ $$$$\begin{array}{|c|}{\mathrm{Find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{radius}\:\left(\mathrm{R}\right)\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{big}\:\mathrm{circle}}\\\hline\end{array}: \\ $$$$\blacktriangle\:\mathrm{in}\:\mathrm{the}\:\mathrm{right}\:\mathrm{triangle}\:\mathrm{O}'\mathrm{DG}: \\ $$$$\bullet\:\mathrm{DG}^{\mathrm{2}} =\mathrm{O}'\mathrm{D}^{\mathrm{2}} −\mathrm{O}'\mathrm{R}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{DG}=\sqrt{\left(\mathrm{8}−\mathrm{R}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{R}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{4}−\mathrm{R}} \\ $$$$\bullet\:\mathrm{O}'\mathrm{H}=\mathrm{CG}=\mathrm{8}−\mathrm{DG}=\mathrm{8}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{4}−\mathrm{R}} \\ $$$$\blacktriangle\:\mathrm{in}\:\mathrm{the}\:\mathrm{right}\:\mathrm{triangle}\:\mathrm{O}'\mathrm{JE}: \\ $$$$\bullet\:\mathrm{O}'\mathrm{E}^{\mathrm{2}} =\mathrm{O}'\mathrm{J}^{\mathrm{2}} +\mathrm{JE}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Leftrightarrow\:\mathrm{O}'\mathrm{E}^{\mathrm{2}} =\left(\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{4}−\mathrm{R}}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{4}−\mathrm{R}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{O}'\mathrm{E}^{\mathrm{2}} =\mathrm{R}^{\mathrm{2}} −\mathrm{24R}+\mathrm{80} \\ $$$$\blacktriangle\:\mathrm{in}\:\mathrm{the}\:\mathrm{right}\:\mathrm{triangle}\:\mathrm{O}'\mathrm{IE}: \\ $$$$\bullet\:\mathrm{EI}^{\mathrm{2}} =\mathrm{O}'\mathrm{E}^{\mathrm{2}} −\mathrm{O}'\mathrm{I}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{EI}=\sqrt{\left(\mathrm{R}^{\mathrm{2}} −\mathrm{24R}+\mathrm{80}\right)−\mathrm{R}^{\mathrm{2}} }=\sqrt{\mathrm{80}−\mathrm{24R}} \\ $$$$\blacktriangle\:\mathrm{in}\:\mathrm{the}\:\mathrm{right}\:\mathrm{triangle}\:\mathrm{ABE}: \\ $$$$\bullet\:\mathrm{BE}^{\mathrm{2}} =\mathrm{AB}^{\mathrm{2}} +\mathrm{AE}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{BE}=\sqrt{\mathrm{8}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{5}} \\ $$$$\bullet\:\mathrm{IB}=\mathrm{BE}−\mathrm{EI}=\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{5}}−\sqrt{\mathrm{80}−\mathrm{24R}} \\ $$$$\blacktriangle\:\mathrm{in}\:\mathrm{the}\:\mathrm{right}\:\mathrm{triangle}\:\mathrm{O}'\mathrm{BI}\:\mathrm{and}\:\mathrm{O}'\mathrm{BH} \\ $$$$\bullet\:\mathrm{O}'\mathrm{I}^{\mathrm{2}} +\mathrm{IB}^{\mathrm{2}} =\mathrm{O}'\mathrm{H}^{\mathrm{2}} +\mathrm{HB}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Leftrightarrow\:\mathrm{R}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{5}}−\sqrt{\mathrm{80}−\mathrm{24R}}\right)^{\mathrm{2}} =\left(\mathrm{8}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{4}−\mathrm{R}}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{8}−\mathrm{R}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Leftrightarrow\:\mathrm{R}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{160}−\mathrm{24R}−\mathrm{16}\sqrt{\mathrm{100}−\mathrm{30R}}\right)=\left(\mathrm{128}−\mathrm{16R}−\mathrm{64}\sqrt{\mathrm{4}−\mathrm{R}}\right)+\left(\mathrm{R}^{\mathrm{2}} −\mathrm{16R}+\mathrm{64}\right) \\ $$$$\Leftrightarrow\:\mathrm{R}−\mathrm{4}=\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{100}−\mathrm{30R}}−\mathrm{8}\sqrt{\mathrm{4}−\mathrm{R}} \\ $$$$\Leftrightarrow\:\mathrm{R}^{\mathrm{2}} −\mathrm{8R}+\mathrm{16}=\mathrm{656}−\mathrm{184R}−\mathrm{32}\sqrt{\mathrm{30R}^{\mathrm{2}} −\mathrm{220R}+\mathrm{400}} \\ $$$$\Leftrightarrow\:\mathrm{R}^{\mathrm{2}} +\mathrm{176R}−\mathrm{640}=−\mathrm{32}\sqrt{\mathrm{30R}^{\mathrm{2}} −\mathrm{220R}+\mathrm{400}} \\ $$$$\Leftrightarrow\:\mathrm{R}^{\mathrm{4}} +\mathrm{30976R}^{\mathrm{2}} +\mathrm{409600}+\mathrm{352R}^{\mathrm{3}} −\mathrm{225280R}−\mathrm{1280R}^{\mathrm{2}} =\mathrm{30720R}^{\mathrm{2}} −\mathrm{225280R}+\mathrm{409600} \\ $$$$\Leftrightarrow\:\mathrm{R}^{\mathrm{4}} +\mathrm{352R}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1024R}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\:\mathrm{R}^{\mathrm{2}} +\mathrm{352R}−\mathrm{1024}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{therefore},\:\begin{array}{|c|}{\mathrm{R}=\mathrm{80}\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{176}}\\\hline\end{array} \\ $$

Commented by Tawa11 last updated on 22/Dec/21