Question Number 162827 by saboorhalimi last updated on 01/Jan/22
Answered by Ar Brandon last updated on 01/Jan/22
$$\mathrm{g}\left({x}\right)=\underset{{r}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\left(\left({x}+\mathrm{1}\right)^{{r}+\mathrm{1}} −{x}^{{r}+\mathrm{1}} \right)^{\frac{\mathrm{1}}{{r}}} \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{g}\left({x}\right)}{{x}}=\underset{{r}\rightarrow\mathrm{0},\:{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}{x}^{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{r}}−\mathrm{1}} \left(\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)^{{r}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{{r}}} \\ $$$$=\underset{{r}\rightarrow\mathrm{0},\:{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}{x}^{\frac{\mathrm{1}}{{r}}} \left(\mathrm{1}+\frac{{r}+\mathrm{1}}{{x}}−\mathrm{1}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{{r}}} =\underset{{r}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\left({r}+\mathrm{1}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{{r}}} \\ $$$$=\underset{{r}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:{e}^{\frac{\mathrm{1}}{{r}}\mathrm{ln}\left({r}+\mathrm{1}\right)} =\underset{{r}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:{e}^{\frac{\mathrm{1}}{{r}}\left({r}\right)} ={e} \\ $$