Question Number 16338 by ajfour last updated on 20/Jun/17
Commented by mrW1 last updated on 20/Jun/17
$$\mathrm{x}=\frac{\mathrm{ab}\:\mathrm{sin}\:\left(\theta+\emptyset\right)}{\mathrm{a}\:\mathrm{sin}\:\theta\:+\:\mathrm{b}\:\mathrm{sin}\:\emptyset} \\ $$$$\mathrm{y}=\frac{\mathrm{a}\:\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2ab}\:\mathrm{cos}\:\left(\theta+\emptyset\right)}\:\mathrm{sin}\:\theta}{\mathrm{a}\:\mathrm{sin}\:\theta+\:\mathrm{b}\:\mathrm{sin}\:\emptyset} \\ $$$$\mathrm{z}=\frac{\mathrm{b}\:\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2ab}\:\mathrm{cos}\:\left(\theta+\emptyset\right)}\:\mathrm{sin}\:\emptyset}{\mathrm{a}\:\mathrm{sin}\:\theta+\:\mathrm{b}\:\mathrm{sin}\:\emptyset} \\ $$
Commented by ajfour last updated on 20/Jun/17
$${thank}\:{you}\:{Sir},\:{very}\:{nice}\:{method}, \\ $$$${good}\:{answers}\:. \\ $$
Answered by mrW1 last updated on 20/Jun/17
$$\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{sin}\:\left(\theta+\phi\right)}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{C}}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{B}} \\ $$$$ \\ $$$$\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{B}}=\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{sin}\:\theta} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}=\mathrm{xsin}\:\theta\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{B}}=\mathrm{xsin}\:\theta\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{bsin}\:\left(\theta+\phi\right)} \\ $$$$\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{C}}=\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{sin}\:\phi} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{z}=\mathrm{xsin}\:\phi\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{C}}=\mathrm{xsin}\:\phi\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{asin}\:\left(\theta+\phi\right)} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{BC}=\mathrm{y}+\mathrm{z}=\mathrm{x}\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{sin}\:\left(\theta+\phi\right)}\left[\frac{\mathrm{sin}\:\theta}{\mathrm{b}}+\frac{\mathrm{sin}\:\phi}{\mathrm{a}}\right] \\ $$$$\mathrm{1}=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{sin}\:\left(\theta+\phi\right)}\left[\frac{\mathrm{sin}\:\theta}{\mathrm{b}}+\frac{\mathrm{sin}\:\phi}{\mathrm{a}}\right] \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}=\frac{\mathrm{ab}\:\mathrm{sin}\:\left(\theta+\phi\right)}{\mathrm{a}\:\mathrm{sin}\:\theta\:+\:\mathrm{b}\:\mathrm{sin}\:\phi} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{BC}=\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2ab}\:\mathrm{cos}\:\left(\theta+\phi\right)} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{y}=\frac{\mathrm{x}\:\mathrm{sin}\:\theta}{\mathrm{b}\:\mathrm{sin}\:\left(\theta+\phi\right)}×\mathrm{BC} \\ $$$$=\frac{\mathrm{ab}\:\mathrm{sin}\:\left(\theta+\phi\right)}{\mathrm{a}\:\mathrm{sin}\:\theta\:+\:\mathrm{b}\:\mathrm{sin}\:\phi}×\frac{\mathrm{sin}\:\theta}{\mathrm{b}\:\mathrm{sin}\:\left(\theta+\phi\right)}×\mathrm{BC} \\ $$$$=\frac{\mathrm{a}\:\mathrm{sin}\:\theta}{\mathrm{a}\:\mathrm{sin}\:\theta\:+\:\mathrm{b}\:\mathrm{sin}\:\phi}×\mathrm{BC} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}=\frac{\mathrm{a}\:\mathrm{sin}\:\theta}{\mathrm{a}\:\mathrm{sin}\:\theta\:+\:\mathrm{b}\:\mathrm{sin}\:\phi}×\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2ab}\:\mathrm{cos}\:\left(\theta+\phi\right)} \\ $$$$\mathrm{similarly} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{z}=\frac{\mathrm{b}\:\mathrm{sin}\:\phi}{\mathrm{a}\:\mathrm{sin}\:\theta\:+\:\mathrm{b}\:\mathrm{sin}\:\phi}×\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2ab}\:\mathrm{cos}\:\left(\theta+\phi\right)} \\ $$
Commented by mrW1 last updated on 20/Jun/17
Commented by b.e.h.i.8.3.4.1.7@gmail.com last updated on 20/Jun/17
$${perfect}! \\ $$
Commented by ajfour last updated on 20/Jun/17
$${great}\:{sir},\:{i}\:{believe}\:{these}\:{are} \\ $$$${useful}\:{answers}. \\ $$