Question Number 163430 by amin96 last updated on 06/Jan/22
Answered by qaz last updated on 07/Jan/22
$$\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}=\frac{\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{999}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2n}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2n}\right)}}{\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{999}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{999}+\mathrm{n}\right)\left(\mathrm{1999}−\mathrm{n}\right)}} \\ $$$$=\frac{\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{999}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}}\right)=\mathrm{H}_{\mathrm{1998}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{H}_{\mathrm{999}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{H}_{\mathrm{999}} =\mathrm{H}_{\mathrm{1998}} −\mathrm{H}_{\mathrm{999}} }{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2998}}\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{999}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{999}+\mathrm{n}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1999}−\mathrm{n}}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1499}}\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1000}} {\overset{\mathrm{1998}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1499}}\left(\mathrm{H}_{\mathrm{1998}} −\mathrm{H}_{\mathrm{999}} \right)} \\ $$$$=\mathrm{1499} \\ $$