Question Number 164001 by bekzodjumayev last updated on 12/Jan/22
Commented by bekzodjumayev last updated on 12/Jan/22
$${Help} \\ $$
Answered by mahdipoor last updated on 12/Jan/22
$${N}=\mathrm{44}…\mathrm{488}..\mathrm{88}+\mathrm{1} \\ $$$$=\mathrm{4}×\left(\frac{\mathrm{10}^{\mathrm{2002}} −\mathrm{1}}{\mathrm{9}}\right)×\mathrm{10}^{\mathrm{2002}} +\mathrm{8}×\left(\frac{\mathrm{10}^{\mathrm{2002}} −\mathrm{1}}{\mathrm{9}}\right)+\mathrm{1} \\ $$$$\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{9}}\left(\mathrm{10}^{\mathrm{2002}} −\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{10}^{\mathrm{2002}} +\mathrm{2}\right)+\mathrm{1}=\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{9}}\left(\mathrm{10}^{\mathrm{4004}} +\mathrm{10}^{\mathrm{2002}} −\mathrm{2}\right)+\mathrm{1}= \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}\left(\mathrm{4}×\mathrm{10}^{\mathrm{4004}} +\mathrm{4}×\mathrm{10}^{\mathrm{2002}} +\mathrm{1}\right)= \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}\left(\mathrm{2}×\mathrm{10}^{\mathrm{2002}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\sqrt{{N}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left(\mathrm{2}×\mathrm{10}^{\mathrm{2002}} +\mathrm{1}\right)=\mathrm{6}\left(\frac{\mathrm{10}^{\mathrm{2002}} −\mathrm{1}}{\mathrm{9}}\right)+\mathrm{1}= \\ $$$$\mathrm{66}..\mathrm{667}\:\:\:\left(\mathrm{2002}\:{times}\:\mathrm{6}\:{repaet}\right) \\ $$
Commented by bekzodjumayev last updated on 12/Jan/22
$${Thanks} \\ $$