Question Number 168608 by Mastermind last updated on 14/Apr/22
Answered by infinityaction last updated on 14/Apr/22
Commented by SLVR last updated on 14/Apr/22
$${nice}\:{sir} \\ $$$$ \\ $$
Answered by qaz last updated on 16/Apr/22
$$\mathrm{tan}\:\left(\mathrm{e}^{\mathrm{sin}\:\mathrm{x}} −\mathrm{sin}\:\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{tan}\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\mathrm{sin}\:^{\mathrm{3}} \mathrm{x}+…\right)=\mathrm{tan}\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{x}+…\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\left(\mathrm{x}+…\right)^{\mathrm{3}} +…\right) \\ $$$$=\mathrm{tan}\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +…\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{o}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \right) \\ $$$$\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}−\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\right)=\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +…\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{o}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \right) \\ $$$$\Rightarrow\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{tan}\:\left(\mathrm{e}^{\mathrm{sin}\:\mathrm{x}} −\mathrm{sin}\:\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}−\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\right)}{\:\sqrt[{\mathrm{5}}]{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }−\mathrm{1}}=\underset{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{o}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \right)}{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{o}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \right)}=−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{6}} \\ $$
Commented by SLVR last updated on 23/Apr/22
$${great}\:{sir} \\ $$