Question Number 168926 by mr W last updated on 22/Apr/22
Commented by mr W last updated on 22/Apr/22
$${M}={midpoint}\:{of}\:{Aa} \\ $$$${L}={midpoint}\:{of}\:{Bb} \\ $$$${K}={midpoint}\:{of}\:{Cc} \\ $$$${prove}\: \\ $$$$\mathrm{1}.\:\Delta_{{abc}} =\mathrm{4}\Delta_{{MLK}} \\ $$$$\mathrm{2}.\:{ab}+{bc}+{ca}\leqslant\mathrm{2}\left({ML}+{LK}+{KM}\right) \\ $$
Commented by mr W last updated on 22/Apr/22
$${related}\:{to}\:{Q}\mathrm{168606} \\ $$
Answered by mr W last updated on 22/Apr/22
$$\underline{\boldsymbol{{Part}}\:\boldsymbol{{I}}} \\ $$$${AH}=\frac{{Ac}}{\mathrm{sin}\:{B}}=\frac{{b}\:\mathrm{cos}\:{A}}{\mathrm{sin}\:{B}}=\frac{\mathrm{2}{R}\:\mathrm{sin}\:{B}\:\mathrm{cos}\:{A}}{\mathrm{sin}\:{B}}=\mathrm{2}{R}\:\mathrm{cos}\:{A} \\ $$$${similarly} \\ $$$${BH}=\mathrm{2}{R}\:\mathrm{cos}\:{B} \\ $$$${CH}=\mathrm{2}{R}\:\mathrm{cos}\:{C} \\ $$$$ \\ $$$${Ha}=\frac{{Ba}}{\mathrm{tan}\:{C}}=\frac{{c}\:\mathrm{cos}\:{B}}{\mathrm{tan}\:{C}}=\frac{\mathrm{2}{R}\:\mathrm{sin}\:{C}\:\mathrm{cos}\:{B}}{\mathrm{tan}\:{C}}=\mathrm{2}{R}\:\mathrm{cos}\:{B}\:\mathrm{cos}\:{C} \\ $$$${similarly} \\ $$$${Hb}=\mathrm{2}{R}\:\mathrm{cos}\:{C}\:\mathrm{cos}\:{A} \\ $$$${Hc}=\mathrm{2}{R}\:\mathrm{cos}\:{A}\:\mathrm{cos}\:{B} \\ $$$$ \\ $$$${HM}={AH}−\frac{{AH}+{Ha}}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left({AH}−{Ha}\right) \\ $$$$={R}\left(\mathrm{cos}\:{A}−\mathrm{cos}\:{B}\:\mathrm{cos}\:{C}\right) \\ $$$${HL}={BH}−\frac{{BH}+{Hb}}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left({BH}−{Hb}\right) \\ $$$$={R}\left(\mathrm{cos}\:{B}−\mathrm{cos}\:{C}\:\mathrm{cos}\:{A}\right) \\ $$$${HK}={CH}−\frac{{CH}+{Hc}}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left({CH}−{Hc}\right) \\ $$$$={R}\left(\mathrm{cos}\:{C}−\mathrm{cos}\:{A}\:\mathrm{cos}\:{B}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{2}\Delta_{{abc}} ={HM}×{HL}×\mathrm{sin}\:{C}+{HL}×{HK}×\mathrm{sin}\:{A}+{HK}×{HM}×\mathrm{sin}\:{B} \\ $$$$\mathrm{2}\Delta_{{abc}} =\mathrm{4}{R}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{cos}\:{B}\:\mathrm{cos}\:{C}×\mathrm{cos}\:{C}\:\mathrm{cos}\:{A}×\mathrm{sin}\:{C}+\mathrm{cos}\:{C}\:\mathrm{cos}\:{A}×\mathrm{cos}\:{A}\:\mathrm{cos}\:{B}×\mathrm{sin}\:{A}+\mathrm{cos}\:{A}\:\mathrm{cos}\:{B}×\mathrm{cos}\:{B}\:\mathrm{cos}\:{C}×\mathrm{sin}\:{B}\right) \\ $$$$\Delta_{{abc}} ={R}^{\mathrm{2}} \mathrm{cos}\:{A}\:\mathrm{cos}\:{B}\:\mathrm{cos}\:{C}\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{A}+\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{B}+\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{C}\right) \\ $$$$\Delta_{{abc}} =\mathrm{4}{R}^{\mathrm{2}} \mathrm{cos}\:{A}\:\mathrm{cos}\:{B}\:\mathrm{cos}\:{C}\:\mathrm{sin}\:{A}\:\mathrm{sin}\:{B}\:\mathrm{sin}\:{C} \\ $$$$\Rightarrow\Delta_{{abc}} =\frac{{R}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{A}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{B}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{C} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{2}\Delta_{{MLK}} ={HM}×{HL}×\mathrm{sin}\:{C}+{HL}×{HK}×\mathrm{sin}\:{A}+{HK}×{HM}×\mathrm{sin}\:{B} \\ $$$$\frac{\mathrm{2}}{{R}^{\mathrm{2}} }\Delta_{{MLK}} =\left(\mathrm{cos}\:{A}−\mathrm{cos}\:{B}\:\mathrm{cos}\:{C}\right)\left(\mathrm{cos}\:{B}−\mathrm{cos}\:{C}\:\mathrm{cos}\:{A}\right)\mathrm{sin}\:{C}+\left(\mathrm{cos}\:{B}−\mathrm{cos}\:{C}\:\mathrm{cos}\:{A}\right)\left(\mathrm{cos}\:{C}−\mathrm{cos}\:{A}\:\mathrm{cos}\:{B}\right)\mathrm{sin}\:{A}+\left(\mathrm{cos}\:{C}−\mathrm{cos}\:{A}\:\mathrm{cos}\:{B}\right)\left(\mathrm{cos}\:{A}−\mathrm{cos}\:{B}\:\mathrm{cos}\:{C}\right)\mathrm{sin}\:{B} \\ $$$$\frac{\mathrm{2}}{{R}^{\mathrm{2}} }\Delta_{{MLK}} =\mathrm{cos}\:{A}\:\mathrm{cos}\:{B}\:\mathrm{cos}\:{C}\:\left(\mathrm{tan}\:{A}+\mathrm{tan}\:{B}+\mathrm{tan}\:{C}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{A}+\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{B}+\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{C}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{A}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{C}+\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{B}\:\:\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{C}+\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{B}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{A}+\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{C}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{A}+\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{C}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{B}+\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{A}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{B}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:{A}\:\mathrm{cos}\:{B}\:\mathrm{cos}\:{C}\:\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{A}+\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{B}+\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{C}\right) \\ $$$$\frac{\mathrm{2}}{{R}^{\mathrm{2}} }\Delta_{{MLK}} =\mathrm{cos}\:{A}\:\mathrm{cos}\:{B}\:\mathrm{cos}\:{C}\:\left(\mathrm{tan}\:{A}+\mathrm{tan}\:{B}+\mathrm{tan}\:{C}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{A}+\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{B}+\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{C}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left[\mathrm{sin}\:\mathrm{2}\left({A}+{C}\right)+\mathrm{sin}\:\mathrm{2}\left({B}+{C}\right)+\:\mathrm{sin}\:\mathrm{2}\left({A}+{B}\right)\right]+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:{A}\:\mathrm{cos}\:{B}\:\mathrm{cos}\:{C}\:\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{A}+\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{B}+\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{C}\right) \\ $$$$\frac{\mathrm{2}}{{R}^{\mathrm{2}} }\Delta_{{MLK}} =\mathrm{cos}\:{A}\:\mathrm{cos}\:{B}\:\mathrm{cos}\:{C}\:\mathrm{tan}\:{A}\:\mathrm{tan}\:{B}\:\mathrm{tan}\:{C}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{A}+\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{B}+\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{C}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{A}+\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{B}+\:\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{C}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:{A}\:\mathrm{cos}\:{B}\:\mathrm{cos}\:{C}\:\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{A}+\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{B}+\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{C}\right) \\ $$$$\frac{\mathrm{2}}{{R}^{\mathrm{2}} }\Delta_{{MLK}} =\mathrm{sin}\:{A}\:\mathrm{sin}\:{B}\:\mathrm{sin}\:{C}−\mathrm{sin}\:{A}\:\mathrm{sin}\:{B}\:\mathrm{sin}\:{C}+\mathrm{2cos}\:{A}\:\mathrm{cos}\:{B}\:\mathrm{cos}\:{C}\:\mathrm{sin}\:{A}\:\mathrm{sin}\:{B}\:\mathrm{sin}\:{C} \\ $$$$\frac{\mathrm{2}}{{R}^{\mathrm{2}} }\Delta_{{MLK}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{A}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{B}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{C} \\ $$$$\Rightarrow\Delta_{{MLK}} =\frac{{R}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{8}}\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{A}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{B}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{C} \\ $$$$\Rightarrow\Delta_{{abc}} =\mathrm{4}\Delta_{{MLK}} \\ $$
Commented by mr W last updated on 21/Apr/22
$${following}\:{theorems}\:{are}\:{used}: \\ $$$$\frac{{a}}{\mathrm{sin}\:{A}}=\frac{{b}}{\mathrm{sin}\:{B}}=\frac{{c}}{\mathrm{sin}\:{C}}=\mathrm{2}{R} \\ $$$$\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{A}+\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{B}+\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{C}=\mathrm{4}\:\mathrm{sin}\:{A}\:\mathrm{sin}\:{B}\:\mathrm{sin}\:{C} \\ $$$$\mathrm{tan}\:{A}+\mathrm{tan}\:{B}+\mathrm{tan}\:{C}=\mathrm{tan}\:{A}\:\mathrm{tan}\:{B}\:\mathrm{tan}\:{C} \\ $$
Commented by Tawa11 last updated on 21/Apr/22
$$\mathrm{Great}\:\mathrm{sir}. \\ $$
Answered by mr W last updated on 23/Apr/22
$$\underline{\boldsymbol{{Part}}\:\boldsymbol{{II}}} \\ $$$${Ca}={b}\:\mathrm{cos}\:{C}=\mathrm{2}{R}\:\mathrm{cos}\:{B}\:\mathrm{cos}\:{C} \\ $$$${Cb}={a}\:\mathrm{cos}\:{C}=\mathrm{2}{R}\:\mathrm{cos}\:{A}\:\mathrm{cos}\:{C} \\ $$$$\left({ab}\right)^{\mathrm{2}} =\left(\mathrm{2}{R}\:\mathrm{cos}\:{B}\:\mathrm{cos}\:{C}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{2}{R}\:\mathrm{cos}\:{A}\:\mathrm{cos}\:{C}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}×\mathrm{2}{R}\:\mathrm{cos}\:{B}\:\mathrm{cos}\:{C}×\mathrm{2}{R}\:\mathrm{cos}\:{A}\:\mathrm{cos}\:{C}×\mathrm{cos}\:{C} \\ $$$$\frac{\left({ab}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}{R}^{\mathrm{2}} }=\left(\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:{A}+\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:{B}+\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:{C}+\mathrm{2}\:\mathrm{cos}\:{A}\:\mathrm{cos}\:{B}\:\mathrm{cos}\:{C}−\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:{C}\right)\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:{C} \\ $$$$\frac{\left({ab}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}{R}^{\mathrm{2}} }=\left(\mathrm{3}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:{A}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:{B}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:{C}+\mathrm{2}\:\mathrm{cos}\:{A}\:\mathrm{cos}\:{B}\:\mathrm{cos}\:{C}−\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:{C}\right)\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:{C} \\ $$$$\frac{\left({ab}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}{R}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:{C}\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:{C} \\ $$$$\Rightarrow{ab}={R}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{C} \\ $$$${ab}+{bc}+{ca}={R}\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{A}+\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{B}+\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{C}\right) \\ $$$$\Rightarrow{ab}+{bc}+{ca}=\mathrm{4}{R}\:\mathrm{sin}\:{A}\:\mathrm{sin}\:{B}\:\mathrm{sin}\:{C} \\ $$$$ \\ $$$${LK}^{\mathrm{2}} ={R}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{cos}\:{B}−\mathrm{cos}\:{C}\:\mathrm{cos}\:{A}\right)^{\mathrm{2}} +{R}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{cos}\:{C}−\mathrm{cos}\:{A}\:\mathrm{cos}\:{B}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{R}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{cos}\:{B}−\mathrm{cos}\:{C}\:\mathrm{cos}\:{A}\right)\left(\mathrm{cos}\:{C}−\mathrm{cos}\:{A}\:\mathrm{cos}\:{B}\right)\mathrm{cos}\:{A} \\ $$$$\frac{{LK}^{\mathrm{2}} }{{R}^{\mathrm{2}} }=\left(\mathrm{cos}\:{B}−\mathrm{cos}\:{C}\:\mathrm{cos}\:{A}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{cos}\:{C}−\mathrm{cos}\:{A}\:\mathrm{cos}\:{B}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\left(\mathrm{cos}\:{B}−\mathrm{cos}\:{C}\:\mathrm{cos}\:{A}\right)\left(\mathrm{cos}\:{C}−\mathrm{cos}\:{A}\:\mathrm{cos}\:{B}\right)\mathrm{cos}\:{A} \\ $$$$\frac{{LK}^{\mathrm{2}} }{{R}^{\mathrm{2}} }=\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:{A}\left(\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:{B}+\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:{C}−\mathrm{2}\:\mathrm{cos}\:{A}\:\mathrm{cos}\:{B}\:\mathrm{cos}\:{C}\right) \\ $$$$\frac{{LK}^{\mathrm{2}} }{{R}^{\mathrm{2}} }=\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:{A}\left(\mathrm{3}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:{A}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:{B}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:{C}−\mathrm{2}\:\mathrm{cos}\:{A}\:\mathrm{cos}\:{B}\:\mathrm{cos}\:{C}−\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:{A}\right) \\ $$$$\frac{{LK}^{\mathrm{2}} }{{R}^{\mathrm{2}} }=\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:{A}\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:{A}\right) \\ $$$$\frac{{LK}^{\mathrm{2}} }{{R}^{\mathrm{2}} }=\:\mathrm{sin}^{\mathrm{4}} \:{A} \\ $$$$\Rightarrow{LK}={R}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:{A} \\ $$$${ML}+{LK}+{KM}={R}\:\left(\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:{A}+\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:{B}+\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:{C}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\geqslant{R}×\mathrm{3}×\left(\mathrm{sin}\:{A}\:\mathrm{sin}\:{B}\:\mathrm{sin}\:{C}\right)^{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:>\mathrm{3}{R}\:\mathrm{sin}\:{A}\:\mathrm{sin}\:{B}\:\mathrm{sin}\:{C} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}×\mathrm{4}{R}\:\mathrm{sin}\:{A}\:\mathrm{sin}\:{B}\:\mathrm{sin}\:{C} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\left({ab}+{bc}+{ca}\right) \\ $$$$\Rightarrow{ab}+{bc}+{ca}<\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\left({ML}+{LK}+{KM}\right)<\mathrm{2}\left({ML}+{LK}+{KM}\right) \\ $$
Commented by Shrinava last updated on 23/Apr/22
$$\mathrm{PERFECT}\:\mathrm{DEAR}\:\mathrm{SIR}\:\mathrm{THANKS} \\ $$