Question Number 169164 by 0731619 last updated on 25/Apr/22
Commented by infinityaction last updated on 25/Apr/22
$${y}\:=\:\mathrm{ln}\:\left(\sqrt{\frac{\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}\:{x}\right)/\mathrm{cos}\:{x}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{sin}\:{x}\right)/\mathrm{cos}\:{x}}}\right. \\ $$$${y}\:=\:\mathrm{ln}\:\sqrt{\frac{\left(\mathrm{sec}\:{x}−\mathrm{tan}\:{x}\right)\left(\mathrm{sec}\:{x}−\mathrm{tan}\:{x}\right)}{\left(\mathrm{sec}\:{x}+\mathrm{tan}\:{x}\right)\left(\mathrm{sec}\:{x}−\mathrm{tan}\:{x}\right)}} \\ $$$${y}\:=\:\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{sec}\:{x}−\mathrm{tan}\:{x}\right) \\ $$$$\frac{{dy}}{{dx}}\:=\:\frac{\mathrm{sec}\:{x}\left(\mathrm{tan}\:{x}−\mathrm{sec}\:{x}\right)}{\left(\mathrm{sec}\:{x}−\mathrm{tan}\:{x}\right)} \\ $$$$\frac{{dy}}{{dx}}\:=\:−\mathrm{sec}\:{x} \\ $$$$ \\ $$
Commented by infinityaction last updated on 25/Apr/22
$$\:\:{let}\: \\ $$$$\:\:\:\:{p}\:\:\:\:\:=\:\:\:\:\:\frac{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\:\:\:\:{p}\:\:\:\:\:=\:\:\:\:\frac{\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\left({x}−\mathrm{1}\right)}{\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\:\:\:\:{p}\:\:\:\:\:\:=\:\:\:\:\frac{{x}+\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:\:+\:\frac{{x}−\mathrm{1}}{\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\:\:\:\:{p}\:\:\:\:\:\:=\:\:\:\:\:\frac{{x}+\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:−\:\frac{\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)−{x}\left({x}+\mathrm{1}\right)}{\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\:\:\:\:{p}\:\:\:\:\:\:\:=\:\:\:\:\frac{{x}+\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:−\:\frac{\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{1}}\:+\frac{{x}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\:\:{p}\:\:\:\:\:\:=\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{2}{x}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:−\:\frac{\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\:\:\:{I}\:\:\:\:\:\:=\:\:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left\{\frac{\mathrm{2}{x}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{{x}+\mathrm{1}}\right\}{dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:{I}\:\:\:\:\:=\:\:\:\left[\mathrm{log}\:\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\:+\:\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left({x}\right)\:+\:\mathrm{log}\:\left({x}+\mathrm{1}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\:\:{I}\:\:\:\:\:=\:\:\:\:\mathrm{log}\:\mathrm{2}\:\:+\:\frac{\pi}{\mathrm{4}}\:+\:\mathrm{log}\:\mathrm{2} \\ $$$$\:\:\:\:{I}\:\:\:\:=\:\:\frac{\pi}{\mathrm{4}}\:+\:\mathrm{log}\:\mathrm{4}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$
Answered by Mathspace last updated on 25/Apr/22
$$ \\ $$$$\left.\mathrm{1}\right){F}\left({x}\right)={ln}\left(\sqrt{\frac{\mathrm{1}−{cos}\left(\frac{\pi}{\mathrm{2}}−{x}\right)}{\mathrm{1}+{cos}\left(\frac{\pi}{\mathrm{2}}−{x}\right)}}\right) \\ $$$$={ln}\sqrt{\frac{\mathrm{2}{sin}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\pi}{\mathrm{4}}−\frac{{x}}{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{2}{cos}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\pi}{\mathrm{4}}−\frac{{x}}{\mathrm{2}}\right)}} \\ $$$$={ln}\mid{tan}\left(\frac{\pi}{\mathrm{4}}−\frac{{x}}{\mathrm{2}}\right)\:\Rightarrow \\ $$$${F}^{'} \left({x}\right)=\frac{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}+{tan}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\pi}{\mathrm{4}}−\frac{{x}}{\mathrm{2}}\right)\right)}{{tan}\left(\frac{\pi}{\mathrm{4}}−\frac{{x}}{\mathrm{2}}\right)} \\ $$