Question Number 170426 by daus last updated on 23/May/22
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 23/May/22
$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}.\mathrm{5}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}.\mathrm{7}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}.\mathrm{9}}+… \\ $$$$=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{k}+\mathrm{3}\right)} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{k}+\mathrm{3}\right)}=\frac{{A}}{\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}}+\frac{{B}}{\mathrm{2}{k}+\mathrm{3}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:{A}\left(\mathrm{2}{k}+\mathrm{3}\right)+{B}\left(\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{k}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:{A}\left(\mathrm{2}\left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{3}\right)=\mathrm{1}\Rightarrow{A}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{k}=−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{B}\left(\mathrm{2}\left(−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{1}\right)=\mathrm{1}\Rightarrow{B}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{k}+\mathrm{3}\right)}=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}\right)}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{2}{k}+\mathrm{3}\right)}\right) \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left\{\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}}\right)−\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{k}+\mathrm{3}}\right)\right\} \\ $$$$\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left\{\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}+….+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}\right)\right. \\ $$$$\left.\:\:\:\:\:\:\:−\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}…+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}+\mathrm{3}}\right)\right\} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{n}+\mathrm{3}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{2}{n}+\mathrm{3}−\mathrm{3}}{\mathrm{3}\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{3}\right)}\right)=\frac{{n}}{\mathrm{3}\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{3}\right)} \\ $$
Commented by thfchristopher last updated on 23/May/22
$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{{n}}{\mathrm{3}\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{3}\right)} \\ $$$$=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\:\:\:\left(\mathrm{by}\:\mathrm{L}'\mathrm{Hospital}'\mathrm{s}\:\mathrm{Rule}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}} \\ $$
Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 23/May/22
$$\mathcal{T}{hank}\:{you}\:{sir}\:{to}\:{complete}\:{my}\:{solution} \\ $$$${It}\:{can}\:{be}\:{done}\:{also}\:{in}\:{this}\:{way}: \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{{n}}{\mathrm{3}\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{3}\right)}=\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\cancel{{n}}}{\mathrm{3}\cancel{{n}}\left(\mathrm{2}+\mathrm{3}/{n}\right)} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}\left(\mathrm{2}\right)}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}} \\ $$
Commented by Tawa11 last updated on 08/Oct/22
$$\mathrm{Great}\:\mathrm{sir} \\ $$
Answered by balirampatel last updated on 24/May/22
$$\mathrm{S}_{\infty} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}\centerdot\mathrm{5}}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}\centerdot\mathrm{7}}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}\centerdot\mathrm{9}}\:+\:………… \\ $$$$\mathrm{2}{S}_{\infty} \:=\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}\centerdot\mathrm{5}}\:+\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}\centerdot\mathrm{7}}\:+\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{7}\centerdot\mathrm{9}}\:+\:………… \\ $$$$\mathrm{2}{S}_{\infty} \:=\:\frac{\mathrm{5}−\mathrm{3}}{\mathrm{3}\centerdot\mathrm{5}}\:+\:\frac{\mathrm{7}−\mathrm{5}}{\mathrm{5}\centerdot\mathrm{7}}\:+\:\frac{\mathrm{9}−\mathrm{7}}{\mathrm{7}\centerdot\mathrm{9}}\:+\:………… \\ $$$$\mathrm{2}{S}_{\infty} \:=\:\left(\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{3}\centerdot\mathrm{5}}\:−\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{3}\centerdot\mathrm{5}}\right)\:+\:\left(\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{5}\centerdot\mathrm{7}}\:−\:\:\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{5}\centerdot\mathrm{7}}\right)\:+\:\left(\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{7}\centerdot\mathrm{9}}\:−\:\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{7}\centerdot\mathrm{9}}\right)+\:………… \\ $$$$\mathrm{2}{S}_{\infty} \:=\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:−\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\right)\:+\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\:−\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}\right)\:+\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}\:−\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}\right)+\:………… \\ $$$$\mathrm{2}{S}_{\infty} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:−\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\:−\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}\:−\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{9}}+\:………… \\ $$$$\mathrm{2}{S}_{\infty} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$${S}_{\infty} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\centerdot\mathrm{3}}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\:{Answer} \\ $$
Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 24/May/22
$$\cap\boldsymbol{\mathrm{i}}\subset\in! \\ $$