Question Number 170878 by 0731619 last updated on 02/Jun/22
Answered by thfchristopher last updated on 02/Jun/22
$$\int{e}^{\mathrm{2}{x}} \mathrm{sin}\:\mathrm{3}{xdx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\mathrm{sin}\:\mathrm{3}{xd}\left({e}^{\mathrm{2}{x}} \right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{e}^{\mathrm{2}{x}} \mathrm{sin}\:\mathrm{3}{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int{e}^{\mathrm{2}{x}} {d}\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{3}{x}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{e}^{\mathrm{2}{x}} \mathrm{sin}\:\mathrm{3}{x}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\int{e}^{\mathrm{2}{x}} \mathrm{cos}\:\mathrm{3}{xdx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{e}^{\mathrm{2}{x}} \mathrm{sin}\:\mathrm{3}{x}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\int\mathrm{cos}\:\mathrm{3}{xd}\left({e}^{\mathrm{2}{x}} \right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{e}^{\mathrm{2}{x}} \mathrm{sin}\:\mathrm{3}{x}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}{e}^{\mathrm{2}{x}} \mathrm{cos}\:\mathrm{3}{x}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\int{e}^{\mathrm{2}{x}} {d}\left(\mathrm{cos}\:\mathrm{3}{x}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{e}^{\mathrm{2}{x}} \mathrm{sin}\:\mathrm{3}{x}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}{e}^{\mathrm{2}{x}} \mathrm{cos}\:\mathrm{3}{x}−\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{4}}\int{e}^{\mathrm{2}{x}} \mathrm{sin}\:\mathrm{3}{xdx} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{4}}\int{e}^{\mathrm{2}{x}} \mathrm{sin}\:\mathrm{3}{xdx}=\frac{{e}^{\mathrm{2}{x}} }{\mathrm{4}}\left(\mathrm{2sin}\:\mathrm{3}{x}−\mathrm{3cos}\:\mathrm{3}{x}\right)+{C} \\ $$$$\Rightarrow\int{e}^{\mathrm{2}{x}} \mathrm{sin}\:\mathrm{3}{xdx}=\frac{{e}^{\mathrm{2}{x}} }{\mathrm{13}}\left(\mathrm{2sin}\:\mathrm{3}{x}−\mathrm{3cos}\:\mathrm{3}{x}\right)+{C} \\ $$