Question Number 172448 by Shrinava last updated on 27/Jun/22
Answered by Jamshidbek last updated on 28/Jun/22
$$\mathrm{Let}\:\:\frac{\mathrm{1}!!}{\mathrm{0}!}+\frac{\mathrm{3}!!}{\mathrm{1}!}+\frac{\mathrm{5}!!}{\mathrm{2}!}+…+\frac{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)!!}{\mathrm{n}!}=\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{a}_{\mathrm{n}} =\frac{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{3}\right)!!}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)!} \\ $$$$\Omega=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \centerdot\frac{\mathrm{2n}+\mathrm{2}}{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{3}\right)!!}=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \centerdot\left(\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)!!}−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{3}\right)!!}\right)= \\ $$$$=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)!!}−\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{3}\right)!!}\right)=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)!!}−\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{3}\right)!!}\:\:\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)!!}=\mathrm{a}_{\mathrm{0}} +\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)!!}=\mathrm{a}_{\mathrm{0}} +\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{3}\right)!!}\:\:\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{From}}\:\left(\mathrm{1}\right)\:\boldsymbol{\mathrm{and}}\:\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\Omega=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)!!}−\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{3}\right)!!}=\mathrm{a}_{\mathrm{0}} +\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{3}\right)!!}−\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{3}\right)!!}= \\ $$$$=\mathrm{a}_{\mathrm{0}} +\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{a}_{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{3}\right)!!}=\mathrm{a}_{\mathrm{0}} +\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{3}\right)!!}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)!\centerdot\left(\mathrm{2n}+\mathrm{3}\right)!!}=\mathrm{a}_{\mathrm{0}} +\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)!}= \\ $$$$=\mathrm{a}_{\mathrm{0}} +\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}!}\:\Rightarrow\:\mathrm{a}_{\mathrm{0}} =\mathrm{1}\:\Rightarrow\:\Omega=\mathrm{1}+\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}!} \\ $$$$\mathrm{e}^{\mathrm{x}} =\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}!}=\mathrm{1}+\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}!} \\ $$$$\mathrm{Put}\:\mathrm{x}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{e}=\mathrm{1}+\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}!}\:\Rightarrow\:\Omega=\mathrm{e} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{Answer}}:\mathrm{e} \\ $$$$\mathrm{Telegram}:\:@\mathrm{math\_undergraduate} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$= \\ $$