Question Number 172744 by Adilali last updated on 30/Jun/22
Answered by aleks041103 last updated on 30/Jun/22
$${obv}.\:{x}=\mathrm{0}\:{is}\:{a}\:{solution}. \\ $$$${if}\:{x}<\mathrm{0}\rightarrow{obv}.\:{no}\:{soln}. \\ $$$${if}\:{x}>\mathrm{0}: \\ $$$$\mathrm{2}^{{x}} {ln}\left({x}\right)={ln}\left(\mathrm{2}\right)+{ln}\left({x}\right) \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{2}^{{x}} −\mathrm{1}\right){ln}\left({x}\right)={ln}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\Rightarrow{ln}\left({x}\right)=\frac{{ln}\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{2}^{{x}} −\mathrm{1}} \\ $$$${for}\:{x}>\mathrm{0} \\ $$$${ln}\left({x}\right)\:{is}\:{strictly}\:{increasing} \\ $$$$\frac{{ln}\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{2}^{{x}} −\mathrm{1}}\:{is}\:{strictly}\:{decreasing} \\ $$$$\Rightarrow{incr}.={decr}. \\ $$$$\Rightarrow{for}\:{x}>\mathrm{0},\:{exist}\:{at}\:{most}\:\mathrm{1}\:{solution} \\ $$$${x}=\mathrm{1}:\left(\mathrm{2}^{{x}} −\mathrm{1}\right){ln}\left({x}\right)=\mathrm{0}<{ln}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$${x}=\mathrm{2}:\left(\mathrm{2}^{{x}} −\mathrm{1}\right){ln}\left({x}\right)=\mathrm{3}{ln}\left(\mathrm{2}\right)>{ln}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\Rightarrow\exists{x}_{\mathrm{1}} \in\left(\mathrm{1},\mathrm{2}\right),\:\left(\mathrm{2}^{{x}_{\mathrm{1}} } −\mathrm{1}\right){ln}\left({x}_{\mathrm{1}} \right)={ln}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$${numerically}: \\ $$$${x}=\mathrm{0}\:{and}\:{x}\approx\mathrm{1}.\mathrm{476} \\ $$