Question Number 173721 by KONE last updated on 16/Jul/22
Answered by mnjuly1970 last updated on 17/Jul/22
$$\:\:{e}^{\:\mathrm{ln}\left(\mathrm{lim}_{{n}\rightarrow\infty} \left(\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\sqrt[{{n}}]{{e}}\:\left(\frac{\mathrm{2}}{\pi}\:\right)^{\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\:\mathrm{2}} }} \right)\:\right)} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:=\:{e}^{\:\mathrm{lim}_{\:{n}\rightarrow\infty} \left(\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\:\mathrm{ln}\left(\sqrt[{{n}}]{{e}}\:\:\left(\frac{\mathrm{2}}{\pi}\:\right)^{\:\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\:\mathrm{2}} }} \right)\right)} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:=\:{e}^{\:\mathrm{lim}_{\:{n}\rightarrow\infty} \left(\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}}\:+\:\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{2}}{\pi}\right)\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\:\mathrm{2}} }\right)} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:=\:{e}^{\:\left(\:\mathrm{1}\:+\frac{\pi^{\:\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}\:\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{2}}{\pi}\right)\right)=\:{e}\:\:.\:\left(\frac{\mathrm{2}}{\pi}\:\right)^{\:\frac{\pi^{\:\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}} \:} \\ $$
Commented by KONE last updated on 17/Jul/22
$${merci}\:{bien}\:{a}\:{vous} \\ $$
Commented by mnjuly1970 last updated on 18/Jul/22
$${you}\:{are}\:{welcom} \\ $$