Question Number 177320 by mnjuly1970 last updated on 03/Oct/22
Answered by a.lgnaoui last updated on 04/Oct/22
$$\sqrt{\mathrm{2}}\:+\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\:\right){x}+{x}^{\mathrm{2}} =\left({x}+\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} −\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} =\left({x}+\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)\left({x}+\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\left({x}+\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)\left({x}+\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)}=−\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}\left[\frac{\mathrm{1}}{\left({x}+\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\:−\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)}+\frac{\mathrm{1}}{\left({x}+\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\:+\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)}\right] \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{ln}{x}}{{x}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\:\right){x}}{dx}=−\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}\int\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}+\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\:−\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{1}}{{x}+\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{3}}\:+\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}\right)\mathrm{ln}{xdx} \\ $$$$=\mathrm{ln}\left[{x}\left({x}+\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\:−\sqrt{\mathrm{3}}\:}{\mathrm{2}}\right)\left({x}+\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\:+\sqrt{\mathrm{3}}\:}{\mathrm{2}}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\infty} +\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{1}}{{x}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}+\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\:−\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}\right)+\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}+\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\:+\sqrt{\mathrm{3}}\:}{\mathrm{2}}}\right){dx} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{{x}\left({x}+\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\:−\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)}=\frac{\mathrm{1}}{\left({x}+\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\:−\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}}\right)^{\mathrm{2}} −\left(\frac{\mathrm{3}−\left(\sqrt{\mathrm{2}}\:−\sqrt{\mathrm{3}}\:−\sqrt{\mathrm{6}}\:\right.}{\mathrm{8}}\right)}\:\:{de}\:{meme}\:{pour}\:\frac{\mathrm{1}}{{x}\left({x}+\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}^{\:} }\:+\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)} \\ $$$${ona}\:{alirs}\:{forme}\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \left[\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right]} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\sqrt{\mathrm{6}}\:+\sqrt{\mathrm{3}}\:−\sqrt{\mathrm{2}}\:+\mathrm{3}}}\left[{Arc}\mathrm{tan}\:\left({x}+\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\:+\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\infty} =\frac{\pi}{\mathrm{2}}−\left(\frac{\mathrm{8}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}\:+\sqrt{\mathrm{6}}\:+\sqrt{\mathrm{2}}\:+\mathrm{3}}\right){arc}\mathrm{tan}\:\left(\frac{\mathrm{17}+\sqrt{\mathrm{2}^{\:} }\:+\sqrt{\mathrm{3}}\:}{\mathrm{4}}\right) \\ $$$$………………. \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$