Question Number 17743 by b.e.h.i.8.3.417@gmail.com last updated on 10/Jul/17
Answered by mrW1 last updated on 10/Jul/17
$$\mathrm{let}\:\mathrm{k}=\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{l} \\ $$$$\mathrm{A}\left(\mathrm{0},\mathrm{k},\mathrm{0}\right) \\ $$$$\mathrm{B}\left(\mathrm{k},\mathrm{0},\mathrm{0}\right) \\ $$$$\mathrm{C}\left(\mathrm{0},−\mathrm{k},\mathrm{0}\right) \\ $$$$\mathrm{D}\left(−\mathrm{k},\mathrm{0},\mathrm{0}\right) \\ $$$$\mathrm{M}\left(\mathrm{p},\mathrm{q},\mathrm{r}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{a}^{\mathrm{2}} =\mathrm{p}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{q}−\mathrm{k}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{r}^{\mathrm{2}} \:\:\:…\left(\mathrm{i}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{b}^{\mathrm{2}} =\left(\mathrm{p}−\mathrm{k}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{q}^{\mathrm{2}} +\mathrm{r}^{\mathrm{2}} \:\:\:…\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{c}^{\mathrm{2}} =\mathrm{p}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{q}+\mathrm{k}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{r}^{\mathrm{2}} \:\:\:…\left(\mathrm{iii}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{d}^{\mathrm{2}} =\left(\mathrm{p}+\mathrm{k}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{q}^{\mathrm{2}} +\mathrm{r}^{\mathrm{2}} \:\:\:…\left(\mathrm{iv}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} =\mathrm{2p}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2q}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2r}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2k}^{\mathrm{2}} =\mathrm{2}\left(\mathrm{p}^{\mathrm{2}} +\mathrm{q}^{\mathrm{2}} +\mathrm{r}^{\mathrm{2}} +\mathrm{k}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{d}^{\mathrm{2}} =\mathrm{2p}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2q}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2r}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2k}^{\mathrm{2}} =\mathrm{2}\left(\mathrm{p}^{\mathrm{2}} +\mathrm{q}^{\mathrm{2}} +\mathrm{r}^{\mathrm{2}} +\mathrm{k}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} =\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{d}^{\mathrm{2}} \\ $$$$ \\ $$$$\left(\mathrm{iii}\right)−\left(\mathrm{i}\right): \\ $$$$\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}^{\mathrm{2}} =\mathrm{4qk} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{q}=\frac{\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4k}} \\ $$$$\left(\mathrm{iv}\right)−\left(\mathrm{ii}\right): \\ $$$$\mathrm{d}^{\mathrm{2}} −\mathrm{b}^{\mathrm{2}} =\mathrm{4pk} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{p}=\frac{\mathrm{d}^{\mathrm{2}} −\mathrm{b}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4k}} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{from}\:\left(\mathrm{i}\right): \\ $$$$\mathrm{r}^{\mathrm{2}} =−\left[\mathrm{p}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{q}−\mathrm{k}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right] \\ $$$$=−\left[\frac{\left(\mathrm{d}^{\mathrm{2}} −\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{16k}^{\mathrm{2}} }+\left(\frac{\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4k}}−\mathrm{k}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right] \\ $$$$=−\left[\frac{\left(\mathrm{d}^{\mathrm{2}} −\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4k}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{16a}^{\mathrm{2}} \mathrm{k}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{16k}^{\mathrm{2}} }\right] \\ $$$$=−\left[\frac{\mathrm{d}^{\mathrm{4}} +\mathrm{b}^{\mathrm{4}} −\mathrm{2d}^{\mathrm{2}} \mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{4}} +\mathrm{a}^{\mathrm{4}} +\mathrm{16k}^{\mathrm{4}} −\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} \mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{8k}^{\mathrm{2}} \mathrm{c}^{\mathrm{2}} +\mathrm{8k}^{\mathrm{2}} \mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{16a}^{\mathrm{2}} \mathrm{k}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{16k}^{\mathrm{2}} }\right] \\ $$$$=−\left[\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{4}} +\mathrm{b}^{\mathrm{4}} +\mathrm{c}^{\mathrm{4}} +\mathrm{d}^{\mathrm{4}} −\mathrm{2}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{c}^{\mathrm{2}} +\mathrm{d}^{\mathrm{2}} \mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)+\mathrm{16k}^{\mathrm{4}} −\mathrm{8k}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{16k}^{\mathrm{2}} }\right] \\ $$$$=−\left[\frac{\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{d}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{8k}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \right)+\mathrm{16k}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{16k}^{\mathrm{2}} }\right] \\ $$$$=−\left[\frac{\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{d}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{8k}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2k}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{16k}^{\mathrm{2}} }\right] \\ $$$$=−\left[\frac{\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{d}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\:\mathrm{l}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{l}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{8}\:\mathrm{l}^{\mathrm{2}} }\right] \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{h}=\mid\mathrm{r}\mid=\frac{\sqrt{\mathrm{4}\:\mathrm{l}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{l}^{\mathrm{2}} \right)−\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{d}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{l}} \\ $$
Commented by b.e.h.i.8.3.417@gmail.com last updated on 10/Jul/17
$${thank}\:{you}\:{dear}\:{mrW}\mathrm{1}. \\ $$$${first}\:{and}\:{always}\:{the}\:{best}. \\ $$
Answered by ajfour last updated on 10/Jul/17
Commented by ajfour last updated on 10/Jul/17
$$\mathrm{AP}^{\mathrm{2}} =\mathrm{a}^{\mathrm{2}} =\mathrm{h}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{x}−\mathrm{k}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{BP}^{\mathrm{2}} =\mathrm{b}^{\mathrm{2}} =\mathrm{h}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{y}−\mathrm{k}\right)^{\mathrm{2}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\mathrm{CP}^{\mathrm{2}} =\mathrm{c}^{\mathrm{2}} =\mathrm{h}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{x}+\mathrm{k}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{DP}^{\mathrm{2}} =\mathrm{d}^{\mathrm{2}} =\mathrm{h}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{y}+\mathrm{k}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} =\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{d}^{\mathrm{2}} \:=\mathrm{2}\left(\mathrm{h}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{k}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:…..\left(\mathrm{i}\right) \\ $$$$\:\:\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}^{\mathrm{2}} =\mathrm{4kx}\:\:;\:\:\:\:\:\mathrm{d}^{\mathrm{2}} −\mathrm{b}^{\mathrm{2}} =\mathrm{4ky} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{16k}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \right)=\left(\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{d}^{\mathrm{2}} −\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} +\mathrm{d}^{\mathrm{2}} =\:\mathrm{4}\left(\mathrm{h}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{k}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\mathrm{so},\:\:\mathrm{16k}^{\mathrm{2}} \mathrm{h}^{\mathrm{2}} =\mathrm{4k}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} +\mathrm{d}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{16k}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{k}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\:\mathrm{16k}^{\mathrm{2}} \mathrm{h}^{\mathrm{2}} =\mathrm{4k}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} +\mathrm{d}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:−\left[\left(\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{d}^{\mathrm{2}} −\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} \right]−\mathrm{16k}^{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{h}=\sqrt{\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} +\mathrm{d}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}−\frac{\left(\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)+\left(\mathrm{d}^{\mathrm{2}} −\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{16k}^{\mathrm{2}} }−\mathrm{k}^{\mathrm{2}} }\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{with}\:\:\:\mathrm{2k}^{\mathrm{2}} ={l}^{\mathrm{2}} \:. \\ $$
Commented by b.e.h.i.8.3.417@gmail.com last updated on 10/Jul/17
$${thank}\:{you}\:{dear}\:{mr}\:{Ajfour}. \\ $$$${your}\:{answers}\:{are}\:{spicial}\:{and}\:{different} \\ $$$${any}\:{time}. \\ $$
Commented by ajfour last updated on 10/Jul/17
$$\mathrm{but}\:\mathrm{mrW1}\:\mathrm{Sir}'\mathrm{s}\:\mathrm{answer}\:\mathrm{dont}\:\mathrm{agree} \\ $$$$\mathrm{with}\:\mathrm{my}\:\mathrm{answer}.\mathrm{please}\:\mathrm{find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{error}. \\ $$
Commented by b.e.h.i.8.3.417@gmail.com last updated on 10/Jul/17
$${h}^{\mathrm{2}} =\frac{{a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} +{c}^{\mathrm{2}} +{d}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}−\frac{\left({a}^{\mathrm{2}} −{c}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} +\left({b}^{\mathrm{2}} −{d}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{8}{l}^{\mathrm{2}} }−\frac{{l}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}} \\ $$
Commented by mrW1 last updated on 10/Jul/17
$$\mathrm{I}\:\mathrm{had}\:\mathrm{a}\:\mathrm{mistake}\:\mathrm{with}\:“−''\mathrm{sign}.\:\mathrm{But} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{result}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{same}\:\mathrm{even}\:\mathrm{when}\:\mathrm{we} \\ $$$$\mathrm{used}\:\mathrm{different}\:\mathrm{expressions},\:\mathrm{since} \\ $$$$\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} =\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{d}^{\mathrm{2}} . \\ $$
Commented by b.e.h.i.8.3.417@gmail.com last updated on 10/Jul/17
$${thanks}\:{for}\:{your}\:{care}\:{and}\:{correction}. \\ $$