Question-177835

Question Number 177835 by infinityaction last updated on 09/Oct/22

Answered by mr W last updated on 09/Oct/22

Σ_(n=1) ^∞ x^(n−1) =(1/(1−x)) Σ_(n=1) ^∞ ∫_0 ^x x^(n−1) dx=∫_0 ^x (1/(1−x))dx Σ_(n=1) ^∞ (x^n /n)=log (1/(1−x)) with x=(1/2) ⇒Σ_(n=1) ^∞ (1/(2^n n))=log 2 Σ_(n=1) ^∞ (1/(2^n n))=Σ_(n=1) ^(100) (1/(2^n n))+...>Σ_(n=1) ^(100) (1/(2^n n)) log 2−Σ_(n=1) ^(100) (1/(2^n n))>0 Σ_(n=1) ^∞ (1/(2^n n))=Σ_(n=1) ^(100) (1/(2^n n))+(1/2^(100) )((1/(2×101))+(1/(2^2 ×102))+(1/(2^3 ×103))+...) <Σ_(n=1) ^(100) (1/(2^n n))+(1/2^(100) )((1/(2×101))+(1/(2^2 ×101))+(1/(2^3 ×101))+...) =Σ_(n=1) ^(100) (1/(2^n n))+(1/(2^(100) ×101))((1/2)+(1/2^2 )+(1/2^3 )+...) =Σ_(n=1) ^(100) (1/(2^n n))+(1/(2^(100) ×101))×((1/2)/(1−(1/2))) =Σ_(n=1) ^(100) (1/(2^n n))+(1/(2^(100) ×101)) ⇒ log 2<Σ_(n=1) ^(100) (1/(2^n n))+(1/(2^(100) ×101)) ⇒ 0<log 2−Σ_(n=1) ^(100) (1/(2^n n))<(1/(2^(100) ×101)) ⇒ (c)

$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}{x}^{{n}−\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}} \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\int_{\mathrm{0}} ^{{x}} {x}^{{n}−\mathrm{1}} {dx}=\int_{\mathrm{0}} ^{{x}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}}{dx} \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{{n}} }{{n}}=\mathrm{log}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}} \\ $$$${with}\:{x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}} {n}}=\mathrm{log}\:\mathrm{2} \\ $$$$ \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}} {n}}=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{100}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}} {n}}+…>\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{100}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}} {n}} \\ $$$$\mathrm{log}\:\mathrm{2}−\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{100}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}} {n}}>\mathrm{0} \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}} {n}}=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{100}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}} {n}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{100}} }\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}×\mathrm{101}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} ×\mathrm{102}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} ×\mathrm{103}}+…\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:<\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{100}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}} {n}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{100}} }\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}×\mathrm{101}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} ×\mathrm{101}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} ×\mathrm{101}}+…\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{100}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}} {n}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{100}} ×\mathrm{101}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }+…\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{100}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}} {n}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{100}} ×\mathrm{101}}×\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{100}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}} {n}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{100}} ×\mathrm{101}} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{log}\:\mathrm{2}<\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{100}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}} {n}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{100}} ×\mathrm{101}} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{0}<\mathrm{log}\:\mathrm{2}−\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{100}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}} {n}}<\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{100}} ×\mathrm{101}}\:\: \\ $$$$\Rightarrow\:\left({c}\right) \\ $$

Commented by Tawa11 last updated on 10/Oct/22

$$\mathrm{Great}\:\mathrm{sir} \\ $$

Commented by infinityaction last updated on 10/Oct/22

$${thanks}\:{sir}\: \\ $$

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