Question Number 181084 by SANOGO last updated on 21/Nov/22
Answered by mr W last updated on 21/Nov/22
$${A}=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$${B}=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{n}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}×\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}} \\ $$$${A}+{B}=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}} \\ $$$${A}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}×\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}} \\ $$$$\Rightarrow{A}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}×\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{8}}\:\checkmark \\ $$$${C}=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} }{{n}^{\mathrm{2}} }=−\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{n}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$${C}=−{A}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }=−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{8}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}×\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}=−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}\:\checkmark \\ $$
Commented by SANOGO last updated on 22/Nov/22
$${thank}\:{you} \\ $$