Question Number 181719 by cortano1 last updated on 29/Nov/22
Answered by mr W last updated on 29/Nov/22
$${say}\:{BA}={a} \\ $$$${BD}^{\mathrm{2}} =\mathrm{4}^{\mathrm{2}} +\mathrm{8}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}×\mathrm{4}×\mathrm{8}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{120}° \\ $$$${BD}^{\mathrm{2}} =\left(\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} +{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}×\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{4}}×{a}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{60}° \\ $$$$\left(\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} +{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}×{a}=\mathrm{4}^{\mathrm{2}} +\mathrm{8}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}×\mathrm{8} \\ $$$${a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}×{a}−\mathrm{64}=\mathrm{0} \\ $$$${a}=\mathrm{2}\left(\sqrt{\mathrm{3}}+\sqrt{\mathrm{19}}\right) \\ $$$${CA}^{\mathrm{2}} =\mathrm{8}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}×\mathrm{8}×\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\:\mathrm{cos}\:\phi \\ $$$${CA}^{\mathrm{2}} =\mathrm{4}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{2}\left(\sqrt{\mathrm{3}}+\sqrt{\mathrm{19}}\right)\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}×\mathrm{4}×\mathrm{2}\left(\sqrt{\mathrm{3}}+\sqrt{\mathrm{19}}\right)\:\mathrm{cos}\:\phi \\ $$$$\mathrm{4}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{2}\left(\sqrt{\mathrm{3}}+\sqrt{\mathrm{19}}\right)\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{16}\left(\sqrt{\mathrm{3}}+\sqrt{\mathrm{19}}\right)\:\mathrm{cos}\:\phi=\mathrm{8}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{64}\sqrt{\mathrm{3}}\:\mathrm{cos}\:\phi \\ $$$$\left(\sqrt{\mathrm{3}×\mathrm{19}}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{2}\left(\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{3}}+\sqrt{\mathrm{19}}\right)\:\mathrm{cos}\:\phi \\ $$$$\mathrm{cos}\:\phi=\frac{\sqrt{\mathrm{57}}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{3}}+\sqrt{\mathrm{19}}\right)}=\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{19}}−\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{14}} \\ $$$$\Rightarrow\phi=\mathrm{cos}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{19}}−\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{14}}\approx\mathrm{75}.\mathrm{43}° \\ $$
Commented by cortano1 last updated on 01/Dec/22
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir} \\ $$
Answered by mr W last updated on 01/Dec/22
$${alternative}: \\ $$$${BD}^{\mathrm{2}} =\mathrm{4}^{\mathrm{2}} +\mathrm{8}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}×\mathrm{4}×\mathrm{8}×\mathrm{cos}\:\mathrm{60}°=\mathrm{112} \\ $$$${CA}^{\mathrm{2}} =\mathrm{8}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}×\mathrm{8}×\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}×\mathrm{cos}\:\phi=\mathrm{112}+\mathrm{64}\sqrt{\mathrm{3}}\:\mathrm{cos}\:\phi \\ $$$$\frac{{BD}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{60}°}=\frac{{CA}}{\mathrm{sin}\:\phi} \\ $$$$\frac{\mathrm{4}×\mathrm{112}}{\mathrm{3}}=\frac{\mathrm{112}+\mathrm{64}\sqrt{\mathrm{3}}\:\mathrm{cos}\:\phi}{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\phi} \\ $$$$\mathrm{28}\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:\phi+\mathrm{12}\sqrt{\mathrm{3}}\:\mathrm{cos}\:\phi−\mathrm{7}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{cos}\:\phi=\frac{−\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{19}}}{\mathrm{14}} \\ $$$$\Rightarrow\phi=\mathrm{cos}^{−\mathrm{1}} \frac{−\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{19}}}{\mathrm{14}}\approx\mathrm{75}.\mathrm{43}° \\ $$
Answered by cortano1 last updated on 01/Dec/22