Question Number 182829 by yaslm last updated on 14/Dec/22
Answered by cortano1 last updated on 15/Dec/22
$$\:{L}=\:\underset{{x}\rightarrow\frac{\pi}{\mathrm{6}}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{2sin}\:{x}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}\:\mathrm{sec}\:{x}−\mathrm{2}} \\ $$$$\:=\:\underset{{x}\rightarrow\frac{\pi}{\mathrm{6}}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{cos}\:{x}\left(\mathrm{2sin}\:{x}−\mathrm{1}\right)}{\:\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{2cos}\:{x}} \\ $$$$\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sqrt{\mathrm{3}}\:×\underset{{x}\rightarrow\frac{\pi}{\mathrm{6}}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{2sin}\:{x}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{2cos}\:{x}} \\ $$$$\left[\:{let}\:{x}=\frac{\pi}{\mathrm{6}}+{y}\:\right] \\ $$$${L}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sqrt{\mathrm{3}}\:\underset{{y}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{2sin}\:\left({y}+\frac{\pi}{\mathrm{6}}\right)−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{2cos}\:\left({y}+\frac{\pi}{\mathrm{6}}\right)} \\ $$$$\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sqrt{\mathrm{3}}\:×\underset{{y}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\mathrm{2}\:}\sqrt{\mathrm{3}}\:\mathrm{sin}\:{y}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:{y}\right)−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sqrt{\mathrm{3}}\:\mathrm{cos}\:{y}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\:{y}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sqrt{\mathrm{3}}\:×\underset{{y}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt{\mathrm{3}}\:\mathrm{sin}\:{y}+\mathrm{cos}\:{y}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}−\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{cos}\:{y}+\mathrm{sin}\:{y}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sqrt{\mathrm{3}}\:×\underset{{y}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{sin}\:{y}−\mathrm{2sin}\:^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{y}\right)}{\:\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\:\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{y}\right)+\mathrm{sin}\:{y}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sqrt{\mathrm{3}}\:×\underset{{y}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\:\mathrm{cos}\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{y}\right)−\mathrm{2sin}\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{y}\right)}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{sin}\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{y}\right)+\mathrm{2cos}\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{y}\right)}\: \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sqrt{\mathrm{3}}\:×\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\:=\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}} \\ $$
Answered by ARUNG_Brandon_MBU last updated on 15/Dec/22
$$\mathscr{L}=\underset{{x}\rightarrow\frac{\pi}{\mathrm{6}}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{2sin}{x}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{sec}{x}−\mathrm{2}}=\underset{{x}\rightarrow\frac{\pi}{\mathrm{6}}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{2sin}{x}\mathrm{cos}{x}−\mathrm{cos}{x}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{2cos}{x}} \\ $$$$\:\:\:\:=\underset{{x}\rightarrow\frac{\pi}{\mathrm{6}}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{sin2}{x}−\mathrm{cos}{x}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{2cos}{x}}=\underset{{t}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{sin}\left(\frac{\pi}{\mathrm{3}}−\mathrm{2}{t}\right)−\mathrm{cos}\left(\frac{\pi}{\mathrm{6}}−{t}\right)}{\:\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{2cos}\left(\frac{\pi}{\mathrm{6}}−{t}\right)} \\ $$$$\:\:\:\:=\underset{{t}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos2}{t}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin2}{t}−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}{t}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}{t}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}−\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{cos}{t}−\mathrm{sin}{t}} \\ $$$$\:\:\:\:=\underset{{t}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}−\mathrm{2}{t}^{\mathrm{2}} \right)−{t}−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}−\frac{{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\right)−\frac{{t}}{\mathrm{2}}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}−\sqrt{\mathrm{3}}\left(\mathrm{1}−\frac{{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\right)−{t}} \\ $$$$\:\:\:\:=\underset{{t}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{−\sqrt{\mathrm{3}}{t}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{3}{t}}{\mathrm{2}}+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}}{\frac{{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}−{t}}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}} \\ $$
Answered by malwan last updated on 15/Dec/22
$$\underset{{x}\rightarrow\frac{\pi}{\mathrm{6}}} {{lim}}\:\frac{\mathrm{2}\left({sin}\:{x}\:−\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)}{\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{{cos}\:{x}}\:−\mathrm{2}} \\ $$$$=\underset{{x}\rightarrow\frac{\pi}{\mathrm{6}}} {{lim}}\:\frac{\mathrm{2}{cosx}\left({sinx}−{sin}\frac{\pi}{\mathrm{6}}\right)}{\mathrm{2}\left({cos}\frac{\pi}{\mathrm{6}}−{cosx}\right)} \\ $$$$=\underset{{x}\rightarrow\frac{\pi}{\mathrm{6}}} {{lim}}\:\frac{\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2}{cos}\left(\frac{{x}}{\mathrm{2}}+\frac{\pi}{\mathrm{12}}\right){sin}\left(\frac{{x}}{\mathrm{2}}−\frac{\pi}{\mathrm{12}}\right)\right.}{−\mathrm{2}{sin}\left(\frac{\pi}{\mathrm{12}}+{x}\right){sin}\left(\frac{\pi}{\mathrm{12}}−\frac{{x}}{\mathrm{12}}\right)} \\ $$$$=\frac{\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}×\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\:=\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}} \\ $$