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Question-18392

Tinku Tara 0 Comments
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Question Number 18392 by b.e.h.i.8.3.417@gmail.com last updated on 20/Jul/17
Commented by b.e.h.i.8.3.417@gmail.com last updated on 20/Jul/17
solve for x,y,z.
$${solve}\:{for}\:{x},{y},{z}. \\ $$
Answered by mrW1 last updated on 20/Jul/17
(i)−(ii): x^2 −y^2 =y−x (x−y)(x+y)=−(x−y) x−y=0 or x+y=−1 (i.e. z^2 =−1 ⇒no real roots) with x=y y^2 =z+y z^2 =2y (y^2 −y)^2 =2y y^2 (y−1)^2 =2y ⇒y=0 or ⇒y(y−1)^2 =2 ⇒y(y^2 −2y+1)=2 ⇒y^3 −2y^2 +y−2=0 ⇒(y−2)(y^2 +1)=0 ⇒y=2 or y=±i ⇒x=y=z=0 ⇒x=y=2 ⇒z=2 ⇒x=y=±i ⇒z=−1∓i with x+y=−1 or x=−1−y z^2 =x+y=−1 ⇒z=∓i y^2 =z−1−y y^2 +y+1±i=0 ⇒y=((−1±(√(1−4(1±i))))/2)=((−1±(√(−3∓i)))/2) ⇒x=−1−y=((−1∓(√(−3∓i)))/2) in total (x,y,z)=(0,0,0) (x,y,z)=(2,2,2) (x,y,z)=(i,i,−1−i) (x,y,z)=(−i,−i,−1+i) (x,y,z)=(((−1−(√(−3−i)))/2),((−1+(√(−3−i)))/2),−i) (x,y,z)=(((−1+(√(−3−i)))/2),((−1−(√(−3−i)))/2),−i) (x,y,z)=(((−1−(√(−3+i)))/2),((−1+(√(−3+i)))/2),i) (x,y,z)=(((−1+(√(−3+i)))/2),((−1−(√(−3+i)))/2),i)
$$\left(\mathrm{i}\right)−\left(\mathrm{ii}\right): \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{y}−\mathrm{x} \\ $$$$\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)=−\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right) \\ $$$$\mathrm{x}−\mathrm{y}=\mathrm{0}\:\mathrm{or}\:\mathrm{x}+\mathrm{y}=−\mathrm{1}\:\left(\mathrm{i}.\mathrm{e}.\:\mathrm{z}^{\mathrm{2}} =−\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{no}\:\mathrm{real}\:\mathrm{roots}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{with}\:\mathrm{x}=\mathrm{y} \\ $$$$\mathrm{y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{z}+\mathrm{y} \\ $$$$\mathrm{z}^{\mathrm{2}} =\mathrm{2y} \\ $$$$\left(\mathrm{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{2y} \\ $$$$\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{y}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{2y} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}=\mathrm{0}\:\mathrm{or} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}\left(\mathrm{y}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{2}\: \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}\left(\mathrm{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2y}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}−\mathrm{2}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{y}−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}=\mathrm{2}\:\mathrm{or}\:\mathrm{y}=\pm\mathrm{i} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{y}=\mathrm{z}=\mathrm{0}\: \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{y}=\mathrm{2}\:\Rightarrow\mathrm{z}=\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{y}=\pm\mathrm{i}\:\Rightarrow\mathrm{z}=−\mathrm{1}\mp\mathrm{i} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{with}\:\mathrm{x}+\mathrm{y}=−\mathrm{1}\:\mathrm{or}\:\mathrm{x}=−\mathrm{1}−\mathrm{y} \\ $$$$\mathrm{z}^{\mathrm{2}} =\mathrm{x}+\mathrm{y}=−\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{z}=\mp\mathrm{i} \\ $$$$\mathrm{y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{z}−\mathrm{1}−\mathrm{y} \\ $$$$\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}+\mathrm{1}\pm\mathrm{i}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}=\frac{−\mathrm{1}\pm\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{4}\left(\mathrm{1}\pm\mathrm{i}\right)}}{\mathrm{2}}=\frac{−\mathrm{1}\pm\sqrt{−\mathrm{3}\mp\mathrm{i}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}=−\mathrm{1}−\mathrm{y}=\frac{−\mathrm{1}\mp\sqrt{−\mathrm{3}\mp\mathrm{i}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{in}\:\mathrm{total} \\ $$$$\left(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z}\right)=\left(\mathrm{0},\mathrm{0},\mathrm{0}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z}\right)=\left(\mathrm{2},\mathrm{2},\mathrm{2}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z}\right)=\left(\mathrm{i},\mathrm{i},−\mathrm{1}−\mathrm{i}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z}\right)=\left(−\mathrm{i},−\mathrm{i},−\mathrm{1}+\mathrm{i}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z}\right)=\left(\frac{−\mathrm{1}−\sqrt{−\mathrm{3}−\mathrm{i}}}{\mathrm{2}},\frac{−\mathrm{1}+\sqrt{−\mathrm{3}−\mathrm{i}}}{\mathrm{2}},−\mathrm{i}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z}\right)=\left(\frac{−\mathrm{1}+\sqrt{−\mathrm{3}−\mathrm{i}}}{\mathrm{2}},\frac{−\mathrm{1}−\sqrt{−\mathrm{3}−\mathrm{i}}}{\mathrm{2}},−\mathrm{i}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z}\right)=\left(\frac{−\mathrm{1}−\sqrt{−\mathrm{3}+\mathrm{i}}}{\mathrm{2}},\frac{−\mathrm{1}+\sqrt{−\mathrm{3}+\mathrm{i}}}{\mathrm{2}},\mathrm{i}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z}\right)=\left(\frac{−\mathrm{1}+\sqrt{−\mathrm{3}+\mathrm{i}}}{\mathrm{2}},\frac{−\mathrm{1}−\sqrt{−\mathrm{3}+\mathrm{i}}}{\mathrm{2}},\mathrm{i}\right) \\ $$

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