Question Number 184523 by cortano1 last updated on 08/Jan/23
Answered by SEKRET last updated on 08/Jan/23
$$\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{t}}=\:\frac{\mathrm{1}}{\boldsymbol{\mathrm{x}}}\:\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{dt}}=\:−\:\frac{\mathrm{1}}{\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} }\boldsymbol{\mathrm{dx}}\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{dx}}=\:−\frac{\mathrm{1}}{\boldsymbol{\mathrm{t}}^{\mathrm{2}} }\boldsymbol{\mathrm{dt}} \\ $$$$\:\:\int_{\infty} ^{\:\mathrm{1}} \frac{\frac{\mathrm{1}}{\boldsymbol{\mathrm{t}}^{\mathrm{5}} }}{\lfloor\boldsymbol{\mathrm{t}}\rfloor}\:\centerdot\left(\frac{−\mathrm{1}}{\boldsymbol{\mathrm{t}}^{\mathrm{2}} }\right)\boldsymbol{\mathrm{dt}}=\:\:\int_{\mathrm{1}} ^{\:\infty} \frac{\mathrm{1}}{\boldsymbol{\mathrm{t}}^{\mathrm{7}} \lfloor\boldsymbol{\mathrm{t}}\rfloor}\boldsymbol{\mathrm{dt}}= \\ $$$$\:\underset{\boldsymbol{\mathrm{k}}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\underset{\boldsymbol{\mathrm{k}}} {\int}^{\boldsymbol{\mathrm{k}}+\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{\boldsymbol{\mathrm{k}}\centerdot\boldsymbol{\mathrm{t}}^{\mathrm{7}} }\:\boldsymbol{\mathrm{dt}}=\underset{\boldsymbol{\mathrm{k}}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\boldsymbol{\mathrm{k}}}\centerdot\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{6}\boldsymbol{\mathrm{t}}^{\mathrm{6}} }\right)_{\boldsymbol{\mathrm{k}}} ^{\boldsymbol{\mathrm{k}}+\mathrm{1}} = \\ $$$$\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\centerdot\left(\underset{\boldsymbol{\mathrm{k}}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\boldsymbol{\mathrm{k}}^{\mathrm{7}} }\:\:\:\:−\:\underset{\boldsymbol{\mathrm{k}}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\boldsymbol{\mathrm{k}}\left(\boldsymbol{\mathrm{k}}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{6}} }\right)= \\ $$$$\:\approx\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\centerdot\left(\:\mathrm{1}.\mathrm{0083}\:\:−\:\mathrm{0}.\mathrm{016415}\right)\approx\mathrm{0}.\mathrm{165314} \\ $$
Answered by mr W last updated on 08/Jan/23
$${I}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{x}^{\mathrm{5}} }{\lfloor\frac{\mathrm{1}}{{x}}\rfloor}{dx}=? \\ $$$${let}\:{x}=\frac{\mathrm{1}}{{t}} \\ $$$${dx}=−\frac{{dt}}{{t}^{\mathrm{2}} } \\ $$$${I}=\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{{dt}}{{t}^{\mathrm{7}} \lfloor{t}\rfloor} \\ $$$$\:\:=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\int_{{k}} ^{{k}+\mathrm{1}} \frac{{dt}}{{t}^{\mathrm{7}} \lfloor{t}\rfloor} \\ $$$$\:\:=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}\int_{{k}} ^{{k}+\mathrm{1}} \frac{{dt}}{{t}^{\mathrm{7}} } \\ $$$$\:\:=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}\left[−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}{t}^{\mathrm{6}} }\right]_{{k}} ^{{k}+\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}\left[\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{6}} }−\frac{\mathrm{1}}{\left({k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{6}} }\right] \\ $$$$\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left[\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{7}} }−\frac{\mathrm{1}}{{k}\left({k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{6}} }\right] \\ $$$$\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\left({A}−{B}\right) \\ $$$${A}=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{7}} }=\zeta\left(\mathrm{7}\right)\:\:\:\leftarrow\:{Riemann}\:{Zeta}\:{function}\:\zeta\left({s}\right)=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}^{{s}} } \\ $$$${B}=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}\left({k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{6}} } \\ $$$$\:\:\:=\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left({k}−\mathrm{1}\right){k}^{\mathrm{6}} } \\ $$$$\:\:\:=\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\left[\frac{\mathrm{1}}{\left({k}−\mathrm{1}\right)}−\frac{\mathrm{1}}{{k}}−\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{3}} }−\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{4}} }−\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{5}} }−\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{6}} }\right] \\ $$$$\:\:\:=\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left({k}−\mathrm{1}\right)}−\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}−\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{3}} }+\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{4}} }+\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{5}} }+\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{6}} }\right) \\ $$$$\:\:\:=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}−\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}+\mathrm{1}−\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{3}} }+\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{4}} }+\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{5}} }+\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{6}} }\right)+\mathrm{5} \\ $$$$\:\:\:=−\left[\zeta\left(\mathrm{2}\right)+\zeta\left(\mathrm{3}\right)+\zeta\left(\mathrm{4}\right)+\zeta\left(\mathrm{5}\right)+\zeta\left(\mathrm{6}\right)\right]+\mathrm{6} \\ $$$${I}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\left[\zeta\left(\mathrm{7}\right)+\zeta\left(\mathrm{2}\right)+\zeta\left(\mathrm{3}\right)+\zeta\left(\mathrm{4}\right)+\zeta\left(\mathrm{5}\right)+\zeta\left(\mathrm{6}\right)−\mathrm{6}\right] \\ $$$$\Rightarrow{I}=\frac{\zeta\left(\mathrm{2}\right)+\zeta\left(\mathrm{3}\right)+\zeta\left(\mathrm{4}\right)+\zeta\left(\mathrm{5}\right)+\zeta\left(\mathrm{6}\right)+\zeta\left(\mathrm{7}\right)}{\mathrm{6}}−\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\approx\mathrm{0}.\mathrm{165322382919} \\ $$